Nos artigos anteriores, aprendemos um pouco sobre o Número de Euler, em
Limite Fundamental Exponencial pt. 1, e depois vimos como ele se relaciona com o Limite Fundamental Exponencial,
em
Limite Fundamental Exponencial pt. 2 .
Neste artigo você verá a resolução de exercícios sobre o limite fundamental
exponencial com acompanhamento gráfico.
a) limx→−∞(1−1x)x
b) limn→0(1+n)1n
c) limn→−∞(1+1n)n2
d) limn→−∞(1+1n)43n
e) limn→−∞(1+12n)n
Resolução
a) limx→−∞(1−1x)x
Primeiro passo: realizar a substituição de x
−1x=1n
−n=x ou x=−n
Segundo passo: observar a tendência
- x=10⇒n=−10
- x=−10⇒n=10
- x=−100⇒n=100
- ...
- x→−∞⇒n→+∞
Quando x tende a menos infinito, n tendo a mais infinito.
Terceiro passo: montagem e resolução
limn→+∞(1+1n)−n = (limn→+∞(1+1n)n)−1 = e−1 = 1e
Gráfico da função original
![]() |
Gráfico da original função: quando x tende a
- infinito, f(x) se aproxima de
1/e |
Gráfico da segunda função
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Gráfico da função original: quando n tende a + infinito, g(n) se aproxima de 1/e |
b) limn→0(1+n)1n=e
Primeiro passo: realizar a substituição de n
n=1x ⇒ x=1n
Segundo passo: observar a tendência
- n=1⇒x=1
- n=0.1⇒x=10
- n=0.01⇒x=100
- n=−1⇒x=−1
- n=−0.1⇒x=−10
- n=−0.01⇒x=−100
- ...
- n→0⇒x→±∞
Terceiro passo: montagem e resolução
limx→+∞(1+1x)x=e
limx→−∞(1+1x)x=e
Tabela
n | g(n) |
---|---|
1 | 2 |
0.1 | 2.5937424601 |
0.01 | 2.70481382942153 |
0.001 | 2.71692393223559 |
-0.1 | 2.86797199079244 |
-0.01 | 2.73199902642903 |
-0.001 | 2.71964221644285 |
Gráfico
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g(n) se aproxima de e quando n tende
a 0 |
c) limn→−∞(1+1n)n2
= limn→−∞(1+1n)12n
= (limn→−∞(1+1n)n)12 = e12 = √e
Gráfico (considere x = n)
![]() |
Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se
aproxima da raiz quadrada de e. |
d) limn→−∞(1+1n)43n = (limn→−∞(1+1n)n)43 = e43 = 3√e4
Gráfico (considere x = n)
![]() |
Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se aproxima de ∛e⁴ |
e) limn→−∞(1+12n)n
Primeiro passo: realizar a substituição de n
12n=1x
x=2n⇒n=x2
Segundo passo: observar a tendência
- n=10⇒x=20
- n=−10⇒x=−20
- n=−100⇒x=−200
- ...
- n→−∞⇒x→−∞
Terceiro passo: montagem e resolução
limx→−∞(1+1x)x2 = (limx→−∞(1+1x)x)12 = e12 = √e
Gráfico
![]() |
Quando a variável das funções tendem a - infinito, as
funções se aproximam da raiz quadrada de e. |
Note que para a resolução destes exercícios foi necessário aplicar as Propriedade dos Limites listadas neste artigo. No próximo artigo veremos sobre o Limite Fundamental Trigonométrico.
Para citar esse artigo:
muito bom. Obrigado!
ResponderExcluirQue isso, ficamos feliz que tenha gostado :)
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