Exercícios sobre Limite Fundamental Exponencial

Nos artigos anteriores, aprendemos um pouco sobre o Número de Euler, em Limite Fundamental Exponencial pt. 1, e depois vimos como ele se relaciona com o Limite Fundamental Exponencial, em Limite Fundamental Exponencial pt. 2 .

 

Neste artigo você verá a resolução de exercícios sobre o limite fundamental exponencial com acompanhamento gráfico.

 

 a) $\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$

b) $\lim_{n \to 0} (1 + n)^{\frac{1}{n}}$

 

c) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}$

 

d) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{4}{3}n}$

e) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{n}$ 

 

Resolução

Caso já tenha resolvido, então é hora de conferir as respostas.

 

  a) $\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$

 

Primeiro passo: realizar a substituição de x

$\frac{-1}{x} = \frac{1}{n}$

 

$-n = x$ ou $x = -n$

Segundo passo: observar a tendência

• $x = 10 \Rightarrow n = -10$
• $x = -10 \Rightarrow n = 10$
• $x = -100 \Rightarrow n = 100$
• ... 
• $x \to -\infty \Rightarrow n \to +\infty$

Quando x tende a menos infinito, n tendo a mais infinito.

Terceiro passo: montagem e resolução

$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}$ $=$ $\left(\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{-1}$ $=$ $e^{-1}$ $=$ $\frac{1}{e}$

 

Gráfico da função original

Gráfico da original função: quando x tende a - infinito, f(x) se aproxima de 1/e

Gráfico da segunda função

Gráfico da função original: quando n tende a + infinito, g(n) se aproxima de 1/e

---

 

b) $\lim_{n \to 0} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e$

 

Primeiro passo: realizar a substituição de n

 

$n = \frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ $x = \frac{1}{n}$ 

 

Segundo passo: observar a tendência

• $n = 1 \Rightarrow x = 1$
• $n = 0.1 \Rightarrow x = 10$
• $n = 0.01 \Rightarrow x = 100$
• $n = -1 \Rightarrow x = -1$
• $n = -0.1 \Rightarrow x = -10$
• $n = -0.01 \Rightarrow x = -100$
  
• ... 
• $n \to 0 \Rightarrow x \to \pm\infty$

 

 Terceiro passo: montagem e resolução

 

 $\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

 

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

 

Tabela

n	g(n)
1	2
0.1	2.5937424601
0.01	2.70481382942153
0.001	2.71692393223559
-0.1	2.86797199079244
-0.01	2.73199902642903
-0.001	2.71964221644285

 

Gráfico

 

g(n) se aproxima de e quando n tende a 0

---

c) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}$ $=$ $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}n}$ $=$ $\left(\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $e^{\frac{1}{2}}$ $=$ $\sqrt{e}$

 

Gráfico (considere x = n)

Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se aproxima da raiz quadrada de e.

---

d) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{4}{3}n}$ $=$ $\left(\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{\frac{4}{3}}$ $=$ $e^{\frac{4}{3}}$ $=$ $\sqrt[3]{e^{4}}$ 

 

Gráfico (considere x = n)

 

Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se aproxima de ∛e⁴

---

e) $\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{n}$

Primeiro passo: realizar a substituição de n

 

$\frac{1}{2n} = \frac{1}{x}$ 

$x = 2n \Rightarrow n = \frac{x}{2}$ 

 

Segundo passo: observar a tendência

• $n = 10 \Rightarrow x = 20$
• $n = -10 \Rightarrow x = -20$
• $n = -100 \Rightarrow x = -200$
• ... 
• $n \to -\infty \Rightarrow x \to -\infty$

 

 Terceiro passo: montagem e resolução

 

 $\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$ $=$  $\left(\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $e^{\frac{1}{2}}$ $=$ $\sqrt{e}$

Gráfico

Quando a variável das funções tendem a - infinito, as funções se aproximam da raiz quadrada de e.

Note que para a resolução destes exercícios foi necessário aplicar as Propriedade dos Limites listadas neste artigo. No próximo artigo veremos sobre o Limite Fundamental Trigonométrico.

Artigos

• Limite Fundamental Trigonométrico (próximo)
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Exercícios sobre Limite Fundamental Exponencial. Publicado em: 9 mai. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/05/exercicios-sobre-limite-fundamental.html. Acesso em: 3 abr. 2025.