Exercícios sobre Limite Fundamental Exponencial

Nos artigos anteriores, aprendemos um pouco sobre o Número de Euler, em Limite Fundamental Exponencial pt. 1, e depois vimos como ele se relaciona com o Limite Fundamental Exponencial, em Limite Fundamental Exponencial pt. 2 .

 

Neste artigo você verá a resolução de exercícios sobre o limite fundamental exponencial com acompanhamento gráfico.

 

 a) limx(11x)x


b) limn0(1+n)1n

 

c) limn(1+1n)n2

 

d) limn(1+1n)43n


e) limn(1+12n)n 

 

Resolução

Caso já tenha resolvido, então é hora de conferir as respostas.

 

  a) limx(11x)x

 

Primeiro passo: realizar a substituição de x


1x=1n

 

n=x ou x=n


Segundo passo: observar a tendência

  • x=10n=10
  • x=10n=10
  • x=100n=100
  • ... 
  • xn+

Quando x tende a menos infinito, n tendo a mais infinito.


Terceiro passo: montagem e resolução

limn+(1+1n)n = (limn+(1+1n)n)1 = e1 = 1e

 

Gráfico da função original

Gráfico da função
Gráfico da original função: quando x tende a - infinito, f(x) se aproxima de 1/e


Gráfico da segunda função

Gráfico da função original: quando n tende a + infinito, g(n) se aproxima de 1/e




 

b) limn0(1+n)1n=e

 

Primeiro passo: realizar a substituição de n

 

n=1x x=1n 

 

Segundo passo: observar a tendência

  • n=1x=1
  • n=0.1x=10
  • n=0.01x=100
  • n=1x=1
  • n=0.1x=10
  • n=0.01x=100
  • ... 
  • n0x±

 

 Terceiro passo: montagem e resolução

 

 limx+(1+1x)x=e

 

limx(1+1x)x=e

 

Tabela

n g(n)
1 2
0.1 2.5937424601
0.01 2.70481382942153
0.001 2.71692393223559
-0.1 2.86797199079244
-0.01 2.73199902642903
-0.001 2.71964221644285

 

Gráfico

 

Gráfico da função
g(n) se aproxima de e quando n tende a 0




c) limn(1+1n)n2 = limn(1+1n)12n = (limn(1+1n)n)12 = e12 = e

 

Gráfico (considere x = n)


Gráfico da função
Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se aproxima da raiz quadrada de e.



d) limn(1+1n)43n = (limn(1+1n)n)43 = e43 = 3e4 

 

Gráfico (considere x = n)

 

Gráfico da função
Quando f(x) se aproxima de -infinito, x se aproxima de ∛e⁴



e) limn(1+12n)n


Primeiro passo: realizar a substituição de n

 

12n=1x 


x=2nn=x2 

 

Segundo passo: observar a tendência

  • n=10x=20
  • n=10x=20
  • n=100x=200
  • ... 
  • nx

 

 Terceiro passo: montagem e resolução

 

 limx(1+1x)x2 =  (limx(1+1x)x)12 = e12 = e


Gráfico

Gráfico da função
Quando a variável das funções tendem a - infinito, as funções se aproximam da raiz quadrada de e.

Note que para a resolução destes exercícios foi necessário aplicar as Propriedade dos Limites listadas neste artigo. No próximo artigo veremos sobre o Limite Fundamental Trigonométrico.


Artigos



Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Exercícios sobre Limite Fundamental Exponencial. Publicado em: 9 mai. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/05/exercicios-sobre-limite-fundamental.html. Acesso em: 2 abr. 2025.

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