Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica

Para familiarizar-se com a simbologia utilizada neste tópico é importante que você tenha lido sobre operações com conjuntos parte 1 e parte 2. Se caiu aqui por acaso e não tem muita noção de conjuntos, pode ver todos os artigos da série clicando aqui.

Índice
  1. Definição
  2. Propriedades da Diferença Simétrica
  3. A Diferença Simétrica na Lógica Proposicional e Álgebra Booleana
  4. Considerações Finais

Definição

A diferença simétrica dos conjuntos A e B consiste em todos os elementos que pertençam a A ou B, mas não a ambos (Lipschutz e Lipson, 2004).

Uma outra definição da diferença simétrica é que ela é a união das diferenças, ou, a união entre A e B menos a interseção entre a A e B. Podemos representar essa operação das seguintes formas:
AΔB=(AB)(AB)
A delta B é igual a A união B menos A inter B.

AΔB=(AB)(BA)
A delta B é igual a A menos B união B menos A.

Ambas são equivalentes. Um exemplo de diferença simétrica:
A={0,1,2,3}
B={1,0,1}
AΔB=({0,1,2,3}{1,0,1}) ({0,1,2,3}{1,0,1}) = {1,2,3}

Diferença Simétrica

Se os conjuntos forem disjuntos, então AΔB=AB

Diferença Simétrica entre Conjuntos Disjuntos

Se A contém B ou B contém A, o princípio continua sendo a união de A e B menos a sua interseção.

Diferença Simétrica entre B contido em A e
A contido em B

Propriedades da Diferença Simétrica

AΔB=(AB)(AB) = (AB)(BA), A,B
Essa propriedade é na verdade uma equivalência, só para reforçar aquilo que já foi supracitado.

AB= AΔB=AB, A,B
Se a interseção entre A e B for vazia, a diferença simétrica entre A e B é igual a união entre A e B.

ABAΔB =AB, A,B
Se A está contido em B, então a diferença simétrica é igual a complementar de A em B.

AB (AB)(AB) (AB)(AB)
Essa é uma propriedade da diferença, como vimos no artigo operações com conjuntos, assim como na aritmética 3 - 2 ≠ 2 - 3. Mas se A e B forem iguais, resultará em um conjunto vazio em ambos os casos.

(AB)(BA) = (BA)(AB), A,B
Já com a união temos a propriedade comutativa, portanto, independe a ordem da união das diferenças para se chegar ao resultado da diferença simétrica.

AΔA=, A
Na idempotência, a diferença simétrica entre um conjunto e ele mesmo resulta no vazio.

AΔ=A, A
A diferença simétrica entre um conjunto e o vazio, é ele próprio.

Também são válidas as propriedades associativas e distributivas.

A Diferença Simétrica na Lógica Proposicional e Álgebra Booleana

Podemos passar a operação AΔB da teoria dos conjuntos para a lógica proposicional de duas maneiras.

Primeira maneira
A diferença simétrica é a união menos a interseção. É tudo aquilo que pertence a A ou B e não a A e B.

(pq)¬(pq)

pqp ∨ qp ∧ q¬(p ∧ q)(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
VVVVFF
VFVFVV
FVVFVV
FFFFVF

Segunda maneira
A diferença simétrica é a união das diferenças. É tudo aquilo que pertence a A e não a B ou a B e não a A.

(p¬q)(q¬p)

pq¬p¬qp ∧ ¬qq ∧ ¬p(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
VVFFFFF
VFFVVFV
FVVFFVV
FFVVFFF

Na lógica proposicional, essa tabela verdade corresponde a disjunção exclusiva. Você pode ler mais sobre as tabelas verdades da lógica proposicional em Lógica Proposicional - Conectivos e Tabela verdade. E se quiser aprender a criar tabelas verdades, pode ler:

Na álgebra booleana também utilizamos essa operação de disjunção exclusiva quando precisamos que duas entradas sejam necessariamente diferentes e nunca iguais. É representada por AB (lê-se: A xor B) que é equivalente a A¯B+B¯A ou (A+B).¯(A.B), em que o operador lógico "+" significa disjunção inclusiva e o operador lógico "." significa conjunção.

Observação: existem outras simbologias utilizadas para representar a diferença simétrica. Tal como AB, AB e A+B, dentre outros. Consulte a referência bibliográfica para mais informações.

Considerações Finais

Este artigo teve por objetivo esclarecer a importância da diferença simétrica, relacionando-a com outros campos de estudo e explicando algumas de suas propriedades. Você aprendeu, especificamente:
  • O que é diferença simétrica.
  • Propriedades da diferença simétrica.
  • A diferença simétrica é o ou exclusivo na lógica proposicional.
  • A diferença simétrica é o xor na álgebra booleana.

Artigos
Referência Bibliográfica
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.

IPB. Operações entre Conjuntos. Disponível em: <http://www.ipb.pt/~cmca/Operconjuntos.pdf>. Acesso em 10 jul. 2016.

Wolfram MathWorld. Symmetric Difference. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html>. Acesso em 13 jul. 2016.


Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica. Publicado em: 2 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/teoria-dos-conjuntos-diferenca-simetrica.html. Acesso em: 1 abr. 2025.

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