Para familiarizar-se com a simbologia utilizada neste tópico é importante que você tenha lido sobre operações com conjuntos parte 1 e parte 2. Se caiu aqui por acaso e não tem muita noção de conjuntos, pode ver todos os artigos da série clicando aqui.
Índice
Definição
A diferença simétrica dos conjuntos A e B consiste em todos os elementos que pertençam a A ou B, mas não a ambos (Lipschutz e Lipson, 2004).
Uma outra definição da diferença simétrica é que ela é a união das diferenças, ou, a união entre A e B menos a interseção entre a A e B. Podemos representar essa operação das seguintes formas:
A delta B é igual a A união B menos A inter B.
AΔB=(A−B)∪(B−A)
A delta B é igual a A menos B união B menos A.
Ambas são equivalentes. Um exemplo de diferença simétrica:
A={0,1,2,3}
B={−1,0,1}
AΔB=({0,1,2,3}∪{−1,0,1}) − ({0,1,2,3}∩{−1,0,1}) = {−1,2,3}
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Diferença Simétrica |
Se os conjuntos forem disjuntos, então AΔB=A∪B
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Diferença Simétrica entre Conjuntos Disjuntos |
Se A contém B ou B contém A, o princípio continua sendo a união de A e B menos a sua interseção.
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Diferença Simétrica entre B contido em A e A contido em B |
Propriedades da Diferença Simétrica
Essa propriedade é na verdade uma equivalência, só para reforçar aquilo que já foi supracitado.
A∩B=∅ ⇒ AΔB=A∪B, ∀A,∀B
Se a interseção entre A e B for vazia, a diferença simétrica entre A e B é igual a união entre A e B.
A⊂B⇒AΔB =∁AB, ∀A,∀B
Se A está contido em B, então a diferença simétrica é igual a complementar de A em B.
A≠B⇒ (A∪B)−(A∩B) ≠ (A∩B)−(A∪B)
Essa é uma propriedade da diferença, como vimos no artigo operações com conjuntos, assim como na aritmética 3 - 2 ≠ 2 - 3. Mas se A e B forem iguais, resultará em um conjunto vazio em ambos os casos.
(A−B)∪(B−A) = (B−A)∪(A−B), ∀A,∀B
Já com a união temos a propriedade comutativa, portanto, independe a ordem da união das diferenças para se chegar ao resultado da diferença simétrica.
AΔA=∅, ∀A
Na idempotência, a diferença simétrica entre um conjunto e ele mesmo resulta no vazio.
AΔ∅=A, ∀A
A diferença simétrica entre um conjunto e o vazio, é ele próprio.
Também são válidas as propriedades associativas e distributivas.
A Diferença Simétrica na Lógica Proposicional e Álgebra Booleana
Podemos passar a operação AΔB da teoria dos conjuntos para a lógica proposicional de duas maneiras.
Primeira maneira
A diferença simétrica é a união menos a interseção. É tudo aquilo que pertence a A ou B e não a A e B.
(p∨q)∧¬(p∧q)
p | q | p ∨ q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) |
---|---|---|---|---|---|
V | V | V | V | F | F |
V | F | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | V |
F | F | F | F | V | F |
Segunda maneira
A diferença simétrica é a união das diferenças. É tudo aquilo que pertence a A e não a B ou a B e não a A.
(p∧¬q)∨(q∧¬p)
p | q | ¬p | ¬q | p ∧ ¬q | q ∧ ¬p | (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) |
---|---|---|---|---|---|---|
V | V | F | F | F | F | F |
V | F | F | V | V | F | V |
F | V | V | F | F | V | V |
F | F | V | V | F | F | F |
Na lógica proposicional,
essa tabela verdade corresponde a disjunção exclusiva. Você pode ler mais sobre as tabelas verdades da lógica proposicional em Lógica Proposicional - Conectivos e Tabela verdade. E se quiser aprender a criar tabelas verdades, pode ler:
Na álgebra booleana também utilizamos essa operação de disjunção exclusiva quando precisamos que duas entradas sejam necessariamente diferentes e nunca iguais. É representada por A⊕B (lê-se: A xor B) que é equivalente a A¯B+B¯A ou (A+B).¯(A.B), em que o operador lógico "+" significa disjunção inclusiva e o operador lógico "." significa conjunção.
Observação: existem outras simbologias utilizadas para representar a diferença simétrica. Tal como A⊖B, A▽B e A+B, dentre outros. Consulte a referência bibliográfica para mais informações.
Considerações Finais
Este artigo teve por objetivo esclarecer a importância da diferença simétrica, relacionando-a com outros campos de estudo e explicando algumas de suas propriedades. Você aprendeu, especificamente:
- O que é diferença simétrica.
- Propriedades da diferença simétrica.
- A diferença simétrica é o ou exclusivo na lógica proposicional.
- A diferença simétrica é o xor na álgebra booleana.
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Referência Bibliográfica
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.
IPB. Operações entre Conjuntos. Disponível em: <http://www.ipb.pt/~cmca/Operconjuntos.pdf>. Acesso em 10 jul. 2016.
Wolfram MathWorld. Symmetric Difference. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html>. Acesso em 13 jul. 2016.
Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica. Publicado em: 2 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/teoria-dos-conjuntos-diferenca-simetrica.html. Acesso em: 1 abr. 2025.
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