Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica

Para familiarizar-se com a simbologia utilizada neste tópico é importante que você tenha lido sobre operações com conjuntos parte 1 e parte 2. Se caiu aqui por acaso e não tem muita noção de conjuntos, pode ver todos os artigos da série clicando aqui.

Índice

1. Definição
2. Propriedades da Diferença Simétrica
3. A Diferença Simétrica na Lógica Proposicional e Álgebra Booleana
4. Considerações Finais

Definição

A diferença simétrica dos conjuntos A e B consiste em todos os elementos que pertençam a A ou B, mas não a ambos (Lipschutz e Lipson, 2004).

Uma outra definição da diferença simétrica é que ela é a união das diferenças, ou, a união entre A e B menos a interseção entre a A e B. Podemos representar essa operação das seguintes formas:

$$A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$$
A delta B é igual a A união B menos A inter B.

$$A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$$
A delta B é igual a A menos B união B menos A.

Ambas são equivalentes. Um exemplo de diferença simétrica:
$$A = \{0, 1, 2, 3\}$$
$$B = \{-1, 0, 1\}$$
$$A \Delta B = (\{0, 1, 2, 3\} \cup \{-1, 0, 1\})$$ $$ - $$ $$(\{0, 1, 2, 3\} \cap \{-1, 0, 1\})$$ $$ = $$ $$\{-1, 2, 3\}$$

Diferença Simétrica

Se os conjuntos forem disjuntos, então $$A \Delta B = A \cup B$$

Diferença Simétrica entre Conjuntos Disjuntos

Se $$A$$ contém $$B$$ ou $$B$$ contém $$A$$, o princípio continua sendo a união de $$A$$ e $$B$$ menos a sua interseção.

Diferença Simétrica entre B contido em A e
A contido em B

Propriedades da Diferença Simétrica

$$A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$$ $$ = $$ $$(A - B) \cup (B - A)$$, $$\forall A, \forall B$$
Essa propriedade é na verdade uma equivalência, só para reforçar aquilo que já foi supracitado.

$$A \cap B = \varnothing$$ $$\Rightarrow$$ $$A \Delta B = A \cup B$$, $$\forall A, \forall B$$

Se a interseção entre A e B for vazia, a diferença simétrica entre A e B é igual a união entre A e B.

$$A \subset B \Rightarrow A \Delta B$$ $$ = \complement_{B}^{A}$$, $$\forall A, \forall B$$

Se A está contido em B, então a diferença simétrica é igual a complementar de A em B.

$$A \not= B \Rightarrow$$ $$(A \cup B) - (A \cap B)$$ $$ \not= $$ $$(A \cap B) - (A \cup B)$$

Essa é uma propriedade da diferença, como vimos no artigo operações com conjuntos, assim como na aritmética 3 - 2 ≠ 2 - 3. Mas se A e B forem iguais, resultará em um conjunto vazio em ambos os casos.

$$(A - B) \cup (B - A)$$ $$ = $$ $$(B - A) \cup (A - B)$$, $$\forall A, \forall B$$

Já com a união temos a propriedade comutativa, portanto, independe a ordem da união das diferenças para se chegar ao resultado da diferença simétrica.

$$A \Delta A = \varnothing$$, $$\forall A$$
Na idempotência, a diferença simétrica entre um conjunto e ele mesmo resulta no vazio.

$$A \Delta \varnothing = A$$, $$\forall A$$
A diferença simétrica entre um conjunto e o vazio, é ele próprio.

Também são válidas as propriedades associativas e distributivas.

A Diferença Simétrica na Lógica Proposicional e Álgebra Booleana

Podemos passar a operação $$A \Delta B$$ da teoria dos conjuntos para a lógica proposicional de duas maneiras.

Primeira maneira

A diferença simétrica é a união menos a interseção. É tudo aquilo que pertence a A ou B e não a A e B.

$$(p \vee q) \wedge ¬(p \wedge q)$$

p	q	p ∨ q	p ∧ q	¬(p ∧ q)	(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
V	V	V	V	F	F
V	F	V	F	V	V
F	V	V	F	V	V
F	F	F	F	V	F

Segunda maneira

A diferença simétrica é a união das diferenças. É tudo aquilo que pertence a A e não a B ou a B e não a A.

$$(p \wedge ¬q) \vee (q \wedge ¬p)$$

p	q	¬p	¬q	p ∧ ¬q	q ∧ ¬p	(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
V	V	F	F	F	F	F
V	F	F	V	V	F	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	F	F	F

Na lógica proposicional, essa tabela verdade corresponde a disjunção exclusiva. Você pode ler mais sobre as tabelas verdades da lógica proposicional em Lógica Proposicional - Conectivos e Tabela verdade. E se quiser aprender a criar tabelas verdades, pode ler:

• Construção de uma Tabela verdade com Árvore de Decomposição
• Construção de uma Tabela verdade sem Árvore de Decomposição

Na álgebra booleana também utilizamos essa operação de disjunção exclusiva quando precisamos que duas entradas sejam necessariamente diferentes e nunca iguais. É representada por $$A \oplus B$$ (lê-se: A xor B) que é equivalente a $$A \overline{B} + B \overline{A}$$ ou $$(A + B).\overline{(A . B)}$$, em que o operador lógico "+" significa disjunção inclusiva e o operador lógico "." significa conjunção.

Observação: existem outras simbologias utilizadas para representar a diferença simétrica. Tal como $$A \ominus B$$, $$A \triangledown B$$ e $$A + B$$, dentre outros. Consulte a referência bibliográfica para mais informações.

Considerações Finais

Este artigo teve por objetivo esclarecer a importância da diferença simétrica, relacionando-a com outros campos de estudo e explicando algumas de suas propriedades. Você aprendeu, especificamente:

• O que é diferença simétrica.
• Propriedades da diferença simétrica.
• A diferença simétrica é o ou exclusivo na lógica proposicional.
• A diferença simétrica é o xor na álgebra booleana.

Artigos

• Teoria dos Conjuntos - Introdução
• Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
• Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
• Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
• Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
• Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
• Exercícios
• Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
  

Referência Bibliográfica

LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.

IPB. Operações entre Conjuntos. Disponível em: <http://www.ipb.pt/~cmca/Operconjuntos.pdf>. Acesso em 10 jul. 2016.

Wolfram MathWorld. Symmetric Difference. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html>. Acesso em 13 jul. 2016.

Para citar esse artigo: