Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (2/2)

Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (2/2)

Os artigos Lógica Proposicional - Árvore de Refutação, Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, Lógica Proposicional - Implicação Lógica e Lógica Proposicional - Negação das Proposições nos apresentaram algumas regras de inferências e propriedades da lógica proposicional.

No artigo Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2) você aprendeu as propriedades da conjunção e da disjunção, respectivamente. Nesse artigo,  você irá revisar mais propriedades, desta vez, da conjunção e da disjunção inclusiva em uma mesma proposição, negação da condicional e negação da bicondicional.

Propriedades da Conjunção e da Disjunção

Sejam $\text{P}$, $\text{Q}$ e $\text{R}$ proposições simples quaisquer.

Distributivas

1. $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$) $\Longleftrightarrow$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{R}$)
2. $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$) $\Longleftrightarrow$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{R}$)

Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$) e ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{R}$):

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{R}$	$\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$	$\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$)	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{R}$	($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{R}$)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	F	V
V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	F	F
F	V	F	V	F	F	F	F
F	F	V	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Observe-se que a bicondicional $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$) $\leftrightarrow$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{R}$) é tautológica.

Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$) e ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{R}$):

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{R}$	$\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$	$\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$)	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{R}$	($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{R}$)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	F	V	V	V	V
V	F	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	V	V	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	F	F	V	F	F
F	F	V	F	F	F	V	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Observe-se que a bicondicional $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$) $\leftrightarrow$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{R}$) é tautológica.

A primeira equivalência ilustra que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a segunda equivalência evidência que a disjunção é distributiva em relação à conjunção. Assim, conforme a primeira equivalência, a proposição "Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê" é equivalente à "Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê". E, conforme a segunda equivalência, a proposição "chove ou faz vento e frio" é equivalente à proposição "chove ou faz vento e chove ou faz frio".

Absorção

1. $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$
2. $\text{P}$ $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$

Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) e $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$)	$\text{P}$ $\wedge$ ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\text{P}$
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	F	V
F	F	F	F	V

Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) e $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$)	$\text{P}$ $\vee$ ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\text{P}$
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	F	V
F	F	F	F	V

Regras de DE MORGAN

1. $\neg$($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\neg$$\text{Q}$
2. $\neg$($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$

Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\neg$($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) e $\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\neg$$\text{Q}$:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	$\neg$($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$)	$\neg$$\text{P}$	$\neg$$\text{Q}$	$\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\neg$$\text{Q}$
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

Observe-se que a bicondicional $\neg$($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\neg$$\text{Q}$ é tautológica.

Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\neg$($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) e $\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$, ou seja, a bicondicional $\neg$($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\leftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\neg$($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$)	$\neg$$\text{P}$	$\neg$$\text{Q}$	$\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

As regras de DE MORGAN ensinam que negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras, equivale a afirmar que uma delas, pelo menos, é falsa. E que negar que, pelo menos, uma de duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas. Essas regras podem exprimir-se dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Assim, por exemplo, segundo a primeira equivalência, a negação da proposição "é inteligentes e estuda" é a proposição "não é inteligente ou não estuda", e, segundo a segunda equivalência, a negação da proposição "é médico ou professor" é a proposição "não é médico e não é professor". Além disso tudo, as regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação:

1. $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\neg$($\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$)
2. $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\neg$($\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\neg$$\text{Q}$)

Negação da Condicional

Como $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ (equivalência lógica), temos: $\neg$($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\neg$($\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\neg$$\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$. Ou seja, $\neg$($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$. Esta equivalência também é demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições $\neg$($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$) e $\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$, que são idênticas:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$	$\neg$($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$)	$\neg$$\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	F	F
F	F	V	F	V	F

A condicional $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ e $\text{P}$, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$, ($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$) $\rightarrow$ $\text{R}$ e $\text{P}$ $\rightarrow$ ($\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{R}$) não são idênticas.

Negação da Bicondicional

Como $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ ($\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$) (equivalência lógica), temos: $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ ($\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\wedge$ ($\neg$$\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$). E, portanto:

1. $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\neg$($\neg$$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\vee$ $\neg$($\neg$$\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$)
2. $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ ($\neg$$\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$) $\vee$ ($\neg$$\neg$$\text{Q}$ $\wedge$ $\neg$$\text{P}$)

Ou seja:

1. $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $(\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$) $\vee$ ($\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$)

Esta equivalência também é demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$) e ($\text{P}$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$) $\vee$ ($\neg$$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$), que são idênticas:

$\neg$	($\text{P}$	$\leftrightarrow$	$\text{Q}$)	($\text{P}$	$\wedge$	$\neg$$\text{Q}$)	$\vee$	($\neg$$\text{P}$	$\wedge$	$\text{Q}$)
F	V	V	V	V	F	F	F	F	F	V
V	V	F	F	V	V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	F	F	F	V	V	V	V
F	F	V	F	F	F	V	F	V	F	F
4	1	2	1	1	3	2	4	2	3	1

Observação importante: caso o leitor não se lembre de como construir uma tabela-verdade veja os artigos Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula com Árvore de Decomposição e Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula sem Árvore de Decomposição.

As tabelas-verdade das proposições $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$), $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ e $\neg$$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ são idênticas:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$	$\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$)	$\neg$$\text{Q}$	$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\neg$$\text{Q}$	$\neg$$\text{P}$	$\neg$$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$
V	V	V	F	F	F	F	F
V	F	F	V	V	V	F	V
F	V	F	V	F	V	V	V
F	F	V	F	V	F	V	F

Portanto, subsistem as equivalências $\neg$($\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$) $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\neg$$\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\neg$$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$

A bicondicional $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ não goza da propriedade idempotente, pois, é imediato que não são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ e $\text{P}$, mas goza das propriedades comutativa e associativa.

O que você aprendeu

Este artigo teve o propósito de aprofundar nas propriedades citadas ao decorrer dos artigos anteriores. Especificamente, você aprendeu:

• Propriedades da conjunção e da disjunção em uma mesma proposição.
• Propriedades da negação de uma condicional.
• A condicional não possui as propriedades idempotente, comutativa e associativa.
• Propriedades da negação de uma bicondicional.
• A bicondicional não possui a propriedade idempotente, mas goza das propriedades comutativa e associativa.

Continua em

Lógica Proposicional - Regras de Eliminação dos Símbolos Auxiliares

Continuação de

Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2)

Referência Bibliográfica 

ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.

ALMEIDA, M; OLIVEIRA, R; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.

FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.

Para citar esse artigo:

BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (2/2). Publicado em: 11 mar. 2019. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2019/03/logica-proposicional-algebra-proposicoes.html. Acesso em: 5 abr. 2025.