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| Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (2/2) |
Os artigos Lógica Proposicional - Árvore de Refutação, Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, Lógica Proposicional - Implicação Lógica e Lógica Proposicional - Negação das Proposições nos apresentaram algumas regras de inferências e propriedades da lógica proposicional.
No artigo Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2) você aprendeu as propriedades da conjunção e da disjunção, respectivamente. Nesse artigo, você irá revisar mais propriedades, desta vez, da conjunção e da disjunção inclusiva em uma mesma proposição, negação da condicional e negação da bicondicional.
Propriedades da Conjunção e da Disjunção
Sejam $$\text{P}$$, $$\text{Q}$$ e $$\text{R}$$ proposições simples quaisquer.
Observe-se que a bicondicional $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) $$\leftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) é tautológica.
Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) e ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$):
Observe-se que a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) $$\leftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) é tautológica.
A primeira equivalência ilustra que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a segunda equivalência evidência que a disjunção é distributiva em relação à conjunção. Assim, conforme a primeira equivalência, a proposição "Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê" é equivalente à "Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê". E, conforme a segunda equivalência, a proposição "chove ou faz vento e frio" é equivalente à proposição "chove ou faz vento e chove ou faz frio".
Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) e $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
Observe-se que a bicondicional $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é tautológica.
Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) e $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$, ou seja, a bicondicional $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é tautológica:
As regras de DE MORGAN ensinam que negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras, equivale a afirmar que uma delas, pelo menos, é falsa. E que negar que, pelo menos, uma de duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas. Essas regras podem exprimir-se dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Assim, por exemplo, segundo a primeira equivalência, a negação da proposição "é inteligentes e estuda" é a proposição "não é inteligente ou não estuda", e, segundo a segunda equivalência, a negação da proposição "é médico ou professor" é a proposição "não é médico e não é professor". Além disso tudo, as regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação:
A condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$, ($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\rightarrow$$ $$\text{R}$$ e $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ ($$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R}$$) não são idênticas.
As tabelas-verdade das proposições $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$), $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ e $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ são idênticas:
Portanto, subsistem as equivalências $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$
A bicondicional $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ não goza da propriedade idempotente, pois, é imediato que não são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$, mas goza das propriedades comutativa e associativa.
Distributivas
- $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) $$\Longleftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$)
- $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) $$\Longleftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$)
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{R}$$ | $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$ | ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) |
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Observe-se que a bicondicional $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) $$\leftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) é tautológica.
Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) e ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$):
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{R}$$ | $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$ | ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) |
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Observe-se que a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) $$\leftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) é tautológica.
A primeira equivalência ilustra que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a segunda equivalência evidência que a disjunção é distributiva em relação à conjunção. Assim, conforme a primeira equivalência, a proposição "Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê" é equivalente à "Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê". E, conforme a segunda equivalência, a proposição "chove ou faz vento e frio" é equivalente à proposição "chove ou faz vento e chove ou faz frio".
Absorção
- $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$
- $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) e $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) | $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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Regras de DE MORGAN
- $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$
- $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\neg$$$$\text{Q}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ |
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Observe-se que a bicondicional $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é tautológica.
Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) e $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$, ou seja, a bicondicional $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\neg$$$$\text{Q}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ |
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As regras de DE MORGAN ensinam que negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras, equivale a afirmar que uma delas, pelo menos, é falsa. E que negar que, pelo menos, uma de duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas. Essas regras podem exprimir-se dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Assim, por exemplo, segundo a primeira equivalência, a negação da proposição "é inteligentes e estuda" é a proposição "não é inteligente ou não estuda", e, segundo a segunda equivalência, a negação da proposição "é médico ou professor" é a proposição "não é médico e não é professor". Além disso tudo, as regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação:
- $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$)
- $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$)
Negação da Condicional
Como $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ (equivalência lógica), temos: $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$. Ou seja, $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$. Esta equivalência também é demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$, que são idênticas:| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) | $$\neg$$$$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ |
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A condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$, ($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\rightarrow$$ $$\text{R}$$ e $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ ($$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{R}$$) não são idênticas.
Negação da Bicondicional
Como $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ ($$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$) (equivalência lógica), temos: $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ ($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ ($$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$). E, portanto:- $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ $$\neg$$($$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$)
- $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ ($$\neg$$$$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\neg$$$$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{P}$$)
- $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$) $$\vee$$ ($$\neg$$$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$)
| $$\neg$$ | ($$\text{P}$$ | $$\leftrightarrow$$ | $$\text{Q}$$) | ($$\text{P}$$ | $$\wedge$$ | $$\neg$$$$\text{Q}$$) | $$\vee$$ | ($$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\wedge$$ | $$\text{Q}$$) |
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Observação importante: caso o leitor não se lembre de como construir uma tabela-verdade veja os artigos Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula com Árvore de Decomposição e Construção de Tabela-Verdade de uma Fórmula sem Árvore de Decomposição.
As tabelas-verdade das proposições $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$), $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ e $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ são idênticas:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) | $$\neg$$$$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ |
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Portanto, subsistem as equivalências $$\neg$$($$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$) $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$
A bicondicional $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ não goza da propriedade idempotente, pois, é imediato que não são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$, mas goza das propriedades comutativa e associativa.
O que você aprendeu
Este artigo teve o propósito de aprofundar nas propriedades citadas ao decorrer dos artigos anteriores. Especificamente, você aprendeu:- Propriedades da conjunção e da disjunção em uma mesma proposição.
- Propriedades da negação de uma condicional.
- A condicional não possui as propriedades idempotente, comutativa e associativa.
- Propriedades da negação de uma bicondicional.
- A bicondicional não possui a propriedade idempotente, mas goza das propriedades comutativa e associativa.
Continua em
Lógica Proposicional - Regras de Eliminação dos Símbolos Auxiliares
Continuação de
Referência Bibliográfica
ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.
ALMEIDA, M; OLIVEIRA, R; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.
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