Limite Fundamental Exponencial pt. 2

No artigo anterior, em Limite Fundamental Exponencial pt. 1, visitamos alguns tópicos da matemática financeira, como juros simples e compostos. Neste artigo, você verá a relação do tema anterior, com exemplo de juros, envolvendo o cálculo do limite fundamental exponencial (ou limite exponencial fundamental). 

 

Índice

1. Exemplo com Juros Simples
2. Exemplo com Juros Compostos
3. Encontrando o Limite Fundamental

Exemplo com juros simples

Considere um exemplo de juros simples onde é investido um capital C₀, aplicado a uma taxa de 100% ao ano por 1 ano.

Depois de um ano, teremos:

• C₁ = C₀ + 100%C₀ = 2C₀

Isso significa que aplicando R$ 4.000,00 por 1 ano à taxa de 100%, após passado um ano, o montante é igual a R$ 8.000,00.

Exemplo com juros compostos

Agora considere um exemplo no regime de juros compostos, mas incorporando juros em períodos diferentes. Com a taxa semestral = 50%, ao final de 1 semestre, teremos:

• C_1/2 = C₀ + 50%C₀ = C₀(1 + 1/2)

Ao final de 2 semestres (1 ano):

•  C₁ = C_1/2 + 50%C_1/2 = C_1/2(1 + 1/2) = C₀(1 + 1/2)(1 + 1/2) = C₀(1 + 1/2)² =2,25C₀
  

Para o período n = 4:

• C_1/4 = C₀ + 25%C₀ = C₀(1 + 1/4)
• C_2/4 = C_1/4 + 25%C_1/4 = C_1/4(1 + 1/4)
• C_3/4 = C_2/4 + 25%C_2/4 = C_2/4(1 + 1/4)
• C_4/4 = C_3/4 + 25%C_3/4 = C_3/4(1 + 1/4) = C₀(1 + 1/4)(1 + 1/4)(1 + 1/4)(1 + 1/4) = C₀(1 + 1/4)⁴ = 2,44C₀

 Para o período n = 12 (a cada mês):

• C₁ = C₀ $$\prod_{n = 1}^{12}(1 + \frac{1}{2})$$ = C₀(1 + 1/12)¹² = 2,613C₀

Para o período n = 365 dias:

• C₁ = C₀(1 + 1/365)³⁶⁵ = 2,714C₀
  

 

Encontrando o limite fundamental

Generalizando C₁ = C₀(1 + 1/n)ⁿ

Transformando em uma função, é possível ver na tabela abaixo seu comportamento para altos valores de n:

N	(1 + 1/n)n
1.000	2,7169239
5.000	2,7180101
10.000	2,7181459
50.000	2,7182546
100.000	2,7182682
1.000.000	2,7182805

 

Nota-se que existe uma tendência para um valor fixo, visto no artigo anterior, conhecido como e (número de euler). Esta função possui o seguinte domínio: 

 

$$D = ]-\infty, -1[ \cup ]0, \infty[$$

Logo, -1 e 0 não fazem parte de seu domínio. O limite fundamental exponencial fica como:

 

$$\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$

No próximo artigo veremos como resolver problemas envolvendo limites fundamentais exponenciais.

 

Artigos:

•  Exercícios sobre Limite Fundamental Exponencial (próximo)
•  Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Referência Bibliográfica

MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

POMMER, W.M. O número de euler: Possíveis abordagens no ensino básico. Seminários de Ensino de Matemática. Disponível em <https://www.nilsonjosemachado.net/sema20100831.pdf>. Acesso em 2 mai. 2021.

 

O‟CONNOR, J J; ROBERTSON, E.F. The number e. Setembro, 2001. Disponível em:            <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html>. Acesso em 2 mai. 2021.

Para citar esse artigo: