Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan

No decorrer de nossa série sobre conjuntos, você teve a oportunidade de conhecer a história dessa Teoria; as operações estabelecidas entre conjuntos e seus elementos e também fez alguns exercícios de vestibulares. Agora, chegou a vez de falarmos sobre mais um tópico desse tema: leis de De Morgan.

Índice

1. Augustus De Morgan
2. Leis de De Morgan
   1. 1ª Lei de De Morgan
   2. 2ª Lei de De Morgan
3. Leis da Álgebra de Conjuntos
4. Considerações Finais

Augustus De Morgan

Augustus De Morgan nasceu em 1806 em Madura (Índia), mas viveu sua vida na Inglaterra e foi o primeiro professor da University College London (1828), cofundador e presidente da London Mathematical Society (1866) e também um importante contribuidor inglês para a Matemática.

Augustus De Morgan
(Foto: Sophia Elizabeth De Morgan / Wikimedia Commons)
Domínio Público

Dentre os seus trabalhos mais importantes, podemos destacar a reformulação da lógica matemática, a introdução do termo "Indução Matemática" e também a introdução das Leis de De Morgan, que são o assunto deste artigo. Faleceu em 1871 em Londres, Inglaterra.

Leis de De Morgan

As leis que levam o nome de De Morgan são um par de teoremas relacionados que possibilitam a transformação de declarações e fórmulas em formas alternativas, e muitas vezes mais convenientes (Encyclopedia Britannica). Para entender a explicação e notação utilizada nessas leis, é importante que você tenha lido operações com conjuntos parte 1. Para refrescar a memória sobre complementares:

$$\overline{A}$$ $$=$$ $$\{x | x \in U \text{ e } x \not \in A\}$$

1ª Lei de De Morgan

Pode ser descrita na Teoria dos Conjuntos como:
$$\overline{(A \cup B)} = \overline{A} \cap \overline{B}$$, $$\forall A$$, $$\forall B$$

Essa primeira lei nos diz que a complementar da união entre os conjuntos A e B é igual a interseção das complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B. Veja os exemplos a seguir.

Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋃ B

A representação em forma de Diagrama de Venn simplifica o entendimento. Na notação de conjuntos, A ⋃ B é resolvida como:

$$A = \{1, 3, 5, 7\}$$, sendo que $$A \subset U$$
$$B = \{2, 4, 6\}$$, sendo que $$B \subset U$$
$$U$$ $$=$$ $$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

$$A \cup B$$ $$=$$ $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$

$$\overline{A \cup B}$$ $$=$$ $$\{0, 8, 9\}$$


A equivalência é exibida no seguinte diagrama:

Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋂ B

Na notação de conjuntos, a operação A ⋂ B é resolvida como:
$$A = \{1, 3, 5, 7\}$$, sendo que $$A \subset U$$
$$B = \{2, 4, 6\}$$, sendo que $$B \subset U$$
$$U$$ $$=$$ $$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

$$\overline{A} = \{0, 2, 4, 6, 8, 9\}$$
$$\overline{B} = \{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9\}$$

$$\overline{A} \cap \overline{B}$$ $$=$$ $$\{0, 8, 9\}$$

2ª Lei de De Morgan

Pode ser descrita na Teoria dos Conjuntos como:
$$\overline{(A \cap B)} = \overline{A} \cup \overline{B}$$, $$\forall A$$, $$\forall B$$

Essa segunda lei nos diz que a complementar da interseção entre os conjuntos A e B é igual a união entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B. Veja os exemplos a seguir.

Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋂ B

A 1ª Lei foi demonstrada com conjuntos disjuntos, ou seja: A ⋂ B = Ø. Para simplificar a visualização da 2ª Lei, utilizamos um exemplo um pouco diferente. A operação A ⋂ B é resolvida na notação de conjuntos como:

$$A = \{5, 10, 15, 20, 25\}$$, sendo que $$A \subset U$$
$$B = \{10, 20, 30, 40\}$$, sendo que $$B \subset U$$
$$U$$ $$=$$ $$\{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$$

$$A \cap B$$ $$=$$ $$\{10, 20\}$$

$$\overline{A \cap B}$$ $$=$$ $$\{0, 5, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$$

A equivalência é exibida no seguinte diagrama:

Diagrama de Venn demostrando os passos para se chegar a A ⋃ B

E na notação de conjuntos, a operação A ⋃ B é resolvida como:
$$A = \{5, 10, 15, 20, 25\}$$, sendo que $$A \subset U$$
$$B = \{10, 20, 30, 40\}$$, sendo que $$B \subset U$$
$$U$$ $$=$$ $$\{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$$

$$\overline{A}$$ $$=$$ $$\{0, 30, 35, 40, 45, 50\}$$
$$\overline{B}$$ $$=$$ $$\{0, 5, 15, 25, 35, 45, 50\}$$

$$\overline{A} \cup \overline{B}$$ $$=$$ $$\{0, 5, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$$

Leis da Álgebra de Conjuntos

Por base nas duas leis de De Morgan apresentadas, você encontrará outras equivalências, como:
$$A \cup B$$ $$=$$ $$\overline{(\overline{A} \cap \overline{B})}$$ $$=$$ $$\overline{\overline{A}} \cup \overline{\overline{B}}$$
e
$$A \cap B$$ $$=$$ $$\overline{(\overline{A} \cup \overline{B})}$$ $$=$$ $$\overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}}$$

Pela Lei da Involução, a complementar da complementar de um conjunto é igual ao próprio conjunto.

Essas equivalências são importantes na lógica proposicional e foram apresentadas no artigo de Lógica Proposicional - Equivalência Lógica. Você também pode ler sobre sua aplicação em Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições 2.

Além da Teoria dos Conjuntos e Lógica Proposicional, essas leis também são amplamente utilizadas em lógica booleana na eletrônica digital para simplificação de circuitos lógicos, mas esse tema entrará em uma série de artigos à parte.

A tabela a seguir mostra algumas leis da álgebra de conjuntos, dentre as quais a De Morgan também está listada.

Leis de Idempotência
$$A \cup A = A$$
$$A \cap A = A$$
Leis de Associatividade
$$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$$
$$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$$
Leis de Comutatividade
$$A \cup B = B \cup A$$
$$A \cap B = B \cap A$$
Leis de Distributividade
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
Leis de Identidade
$$A \cup \varnothing = A$$
$$A \cup U = U$$
$$A \cap \varnothing = \varnothing$$
$$A \cap U = A$$
Leis de Involução
$$\overline{(\overline{A})} = A$$
Leis dos Complementares
$$A \cup \overline{A} = U$$
$$\overline{U} = \varnothing$$
$$A \cap \overline{A} = \varnothing$$
$$\overline{\varnothing} = U$$
Leis de De Morgan
$$\overline{(A \cup B)} = \overline{A} \cap \overline{B}$$
$$\overline{(A \cap B)} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

Considerações Finais

A Teoria dos Conjuntos é um assunto bem rico na Matemática e de grande importância no desenvolvimento da ciência da computação. Das suas leis que vigoraram tanto na própria Teoria quanto em outras disciplinas da área do saber — como Lógica Proposicional e Álgebra Booleana na Eletrônica Digital (assunto de uma próxima série) — aprendemos sobre De Morgan, que nos dizem que:

• A complementar da união entre os conjuntos A e B é igual a interseção entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B.
• A complementar da interseção entre os conjuntos A e B é igual a união entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B.

Diagrama de Venn com as Leis de De morgan

Note que $$\overline{A \cup B}$$ $$=$$ $$\{x | x \in U \text{ e } x \not \in A \cup B\}$$

E que $$\overline{A \cap B}$$ $$=$$ $$\{x | x \in U \text{ e } x \not \in A \cap B\}$$

Artigos

• Teoria dos Conjuntos - Introdução
• Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
• Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
• Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
• Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
• Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
• Exercícios
• Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
  

Referência Bibliográfica

BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.

LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.

ENCYCLOPEDIA BRITANNICA. Augustus De Morgan.  Disponível em <https://www.britannica.com/biography/Augustus-De-Morgan>. Acesso em 26 fev. 2020.

UNIVERSITY OF ST ANDREWS (SCOTLAND), SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS. Augustus De Morgan. Disponível em <http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html>. Acesso em: 26 fev. 2020.

Para citar esse artigo: