No decorrer de nossa série sobre conjuntos, você teve a oportunidade de conhecer a história dessa Teoria; as operações estabelecidas entre conjuntos e seus elementos e também fez alguns exercícios de vestibulares. Agora, chegou a vez de falarmos sobre mais um tópico desse tema: leis de De Morgan.
Índice
Augustus De Morgan
Augustus De Morgan nasceu em 1806 em Madura (Índia), mas viveu sua vida na Inglaterra e foi o primeiro professor da University College London (1828), cofundador e presidente da London Mathematical Society (1866) e também um importante contribuidor inglês para a Matemática.
![]() |
Augustus De Morgan (Foto: Sophia Elizabeth De Morgan / Wikimedia Commons) Domínio Público |
Dentre os seus trabalhos mais importantes, podemos destacar a reformulação da lógica matemática, a introdução do termo "Indução Matemática" e também a introdução das Leis de De Morgan, que são o assunto deste artigo. Faleceu em 1871 em Londres, Inglaterra.
Leis de De Morgan
As leis que levam o nome de De Morgan são um par de teoremas relacionados que possibilitam a transformação de declarações e fórmulas em formas alternativas, e muitas vezes mais convenientes (Encyclopedia Britannica). Para entender a explicação e notação utilizada nessas leis, é importante que você tenha lido operações com conjuntos parte 1. Para refrescar a memória sobre complementares:
¯A = {x|x∈U e x∉A}
1ª Lei de De Morgan
Pode ser descrita na Teoria dos Conjuntos como:¯(A∪B)=¯A∩¯B, ∀A, ∀B
Essa primeira lei nos diz que a complementar da união entre os conjuntos A e B é igual a interseção das complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B. Veja os exemplos a seguir.
![]() |
Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋃ B |
A representação em forma de Diagrama de Venn simplifica o entendimento. Na notação de conjuntos, A ⋃ B é resolvida como:
A={1,3,5,7}, sendo que A⊂UB={2,4,6}, sendo que B⊂U
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}
¯A∪B = {0,8,9}
A equivalência é exibida no seguinte diagrama:
![]() |
Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋂ B |
Na notação de conjuntos, a operação A ⋂ B é resolvida como:
A={1,3,5,7}, sendo que A⊂U
B={2,4,6}, sendo que B⊂U
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
¯A={0,2,4,6,8,9}
¯B={0,1,3,5,7,8,9}
¯A∩¯B = {0,8,9}
2ª Lei de De Morgan
Pode ser descrita na Teoria dos Conjuntos como:¯(A∩B)=¯A∪¯B, ∀A, ∀B
Essa segunda lei nos diz que a complementar da interseção entre os conjuntos A e B é igual a união entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B. Veja os exemplos a seguir.
![]() |
Diagrama de Venn demonstrando os passos para se chegar a A ⋂ B |
A 1ª Lei foi demonstrada com conjuntos disjuntos, ou seja: A ⋂ B = Ø. Para simplificar a visualização da 2ª Lei, utilizamos um exemplo um pouco diferente. A operação A ⋂ B é resolvida na notação de conjuntos como:
A={5,10,15,20,25}, sendo que A⊂UB={10,20,30,40}, sendo que B⊂U
U = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}
A∩B = {10,20}
¯A∩B = {0,5,15,25,30,35,40,45,50}
A equivalência é exibida no seguinte diagrama:
![]() |
Diagrama de Venn demostrando os passos para se chegar a A ⋃ B |
E na notação de conjuntos, a operação A ⋃ B é resolvida como:
A={5,10,15,20,25}, sendo que A⊂U
B={10,20,30,40}, sendo que B⊂U
U = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}
¯A = {0,30,35,40,45,50}
¯B = {0,5,15,25,35,45,50}
¯A∪¯B = {0,5,15,25,30,35,40,45,50}
Leis da Álgebra de Conjuntos
Por base nas duas leis de De Morgan apresentadas, você encontrará outras equivalências, como:A∪B = ¯(¯A∩¯B) = ¯¯A∪¯¯B
e
A∩B = ¯(¯A∪¯B) = ¯¯A∩¯¯B
Pela Lei da Involução, a complementar da complementar de um conjunto é igual ao próprio conjunto.
Essas equivalências são importantes na lógica proposicional e foram apresentadas no artigo de Lógica Proposicional - Equivalência Lógica. Você também pode ler sobre sua aplicação em Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições 2.
Além da Teoria dos Conjuntos e Lógica Proposicional, essas leis também são amplamente utilizadas em lógica booleana na eletrônica digital para simplificação de circuitos lógicos, mas esse tema entrará em uma série de artigos à parte.
A tabela a seguir mostra algumas leis da álgebra de conjuntos, dentre as quais a De Morgan também está listada.
Leis de Idempotência |
---|
A∪A=A |
A∩A=A |
Leis de Associatividade |
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) |
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) |
Leis de Comutatividade |
A∪B=B∪A |
A∩B=B∩A |
Leis de Distributividade |
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) |
Leis de Identidade |
A∪∅=A |
A∪U=U |
A∩∅=∅ |
A∩U=A |
Leis de Involução |
¯(¯A)=A |
Leis dos Complementares |
A∪¯A=U |
¯U=∅ |
A∩¯A=∅ |
¯∅=U |
Leis de De Morgan |
¯(A∪B)=¯A∩¯B |
¯(A∩B)=¯A∪¯B |
Considerações Finais
A Teoria dos Conjuntos é um assunto bem rico na Matemática e de grande importância no desenvolvimento da ciência da computação. Das suas leis que vigoraram tanto na própria Teoria quanto em outras disciplinas da área do saber — como Lógica Proposicional e Álgebra Booleana na Eletrônica Digital (assunto de uma próxima série) — aprendemos sobre De Morgan, que nos dizem que:
- A complementar da união entre os conjuntos A e B é igual a interseção entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B.
- A complementar da interseção entre os conjuntos A e B é igual a união entre as complementares de A e B, para quaisquer que sejam A e B.
![]() |
Diagrama de Venn com as Leis de De morgan |
Note que ¯A∪B = {x|x∈U e x∉A∪B}
E que ¯A∩B = {x|x∈U e x∉A∩B}
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.
ENCYCLOPEDIA BRITANNICA. Augustus De Morgan. Disponível em <https://www.britannica.com/biography/Augustus-De-Morgan>. Acesso em 26 fev. 2020.
UNIVERSITY OF ST ANDREWS (SCOTLAND), SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS. Augustus De Morgan. Disponível em <http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html>. Acesso em: 26 fev. 2020.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2 ed. São Paulo: Bookman, 2004. 511 p.
ENCYCLOPEDIA BRITANNICA. Augustus De Morgan. Disponível em <https://www.britannica.com/biography/Augustus-De-Morgan>. Acesso em 26 fev. 2020.
UNIVERSITY OF ST ANDREWS (SCOTLAND), SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS. Augustus De Morgan. Disponível em <http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html>. Acesso em: 26 fev. 2020.
Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan. Publicado em: 28 fev. 2020. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2020/02/teoria-dos-conjuntos-lei-de-de-morgan.html. Acesso em: 2 abr. 2025.
Este comentário foi removido por um administrador do blog.
ResponderExcluirUm ótimo conteúdo e bem explicado, agradeço!
ResponderExcluirNós que agradecemos pelo comentário e participação no blog!
ExcluirA melhor explicação que já vi sobre o tema. Obrigada.
ResponderExcluirFico feliz e muito obrigado pelo comentário!
Excluir