Limite Fundamental Trigonométrico

Em artigos anteriores, conhecemos um pouco sobre o limite fundamental exponencial. Neste artigo, visitaremos mais um tipo de limite: o fundamental trigonométrico.

 

O limite fundamental trigonométrico é dado da seguinte forma:

 

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ (sendo $x$ em radiano) 

Neste artigo não faremos sua demonstração, mas resolveremos alguns exercícios utilizando esse limite.

 

Exercícios

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x}$

 

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$

 

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{5x}$

 

d) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{3\pi x}$

 

Resolução

Agora veremos como resolver esses limites. O primeiro passo para resolver o primeiro limite é multiplicá-lo por 1 $\left(\frac{3}{3}\right)$.

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x}$ $=$ $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{2x} \cdot \frac{3}{3}\right)$

 

3/3 é igual a 1, então não estamos alterando o resultado da nossa fração. Agora, o próximo passo é reorganizar a fração em um novo produto.

 

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{3 \cdot \sin(3x)}{2 \cdot 3x}\right)$ $=$ $\lim_{x \to 0} \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}\right)$

 

Pela propriedade dos limites, o limite de um produto é igual ao produto dos limites. Então nossa equação fica assim:

 

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{3}{2}\right) \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)$

 

Sabemos que o limite de uma função constante é igual a própria constante, logo:

 

$\frac{3}{2} \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}\right)$ $=$ $\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

 

Gráfico de função

Quando o limite de f(x) tende a 0, f(x) se aproxima de 1,5.

Nas demais resoluções aplicaremos a mesma ideia.

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ $=$ $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3}\right)$ $=$ $3 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)$ $=$ $3$

 

Gráfico da função

Quando o limite de f(x) tende a 0, f(x) se aproxima de 3.

 

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{5x}$ $=$ $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot \frac{1}{5}\right)$ $=$ $\frac{1}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ $=$ $\frac{1}{5}$

 

Gráfico da função

Quando o limite de f(x) tende a 0, f(x) se aproxima de 0,2.

d) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{3\pi x}$ $=$ $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \cdot \frac{1}{3}\right)$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Gráfico da função

Quando o limite de f(x) tende a 0, f(x) se aproxima de 0,333....

 

 

Note que também é possível realizar soluções por meio de substituição de variáveis. No exercício A tivemos a seguinte situação:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)$

 

Podemos realizar a substiuição $3x = n$

Observando a tendência:

• $x = 1 \Rightarrow n = 3$
• $x = 0.1 \Rightarrow n = 0.3$
• $x = 0.01 \Rightarrow n = 0.03$
• ...
• $x \to 0 \Rightarrow n \to 0$
  

 

Substituindo:

$\lim_{n \to 0} \left(\frac{\sin(n)}{n}\right) = 1$

 

 

Artigos

• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Limite Fundamental Trigonométrico. Publicado em: 3 out. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/10/limite-fundamental-trigonometrico.html. Acesso em: 3 abr. 2025.