Propriedades dos Limites

Na série de exercícios sobre limites de funções polinomiais com X tendendo a ± infinito vimos algumas propriedades dos limites. Neste artigo você poderá conhecer mais detalhadamente quais são essas propriedades e suas regras de aplicação.

Índice

1. Limite de uma Constante
2. Limite da Soma
3. Limite da Diferença
4. Limite do Produto
5. Limite do Quociente
6. Limite de uma Potência
7. Limite de uma Raiz
8. Limite de uma Função Composta
9. Limite de uma Função Exponencial

Limite de uma Constante

Propriedade:

$\lim_{x \to a} c = c$

Exemplo:

$\lim_{x \to 2} 3 = 3$

Gráfico do Exemplo

f(x) = 3

Limite da Soma

Propriedade:

$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)]$ $=$ $\lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

Exemplo:

$\lim_{x \to 5} (x² + 2x)$ $=$ $\lim_{x \to 5} (x²) + \lim_{x \to 5} (2x)$ $=$ $25 + 10 = 35$

Gráfico do Exemplo

h(5) = (5²) + (2 × 5) = 25 + 10 = 35

Limite da Diferença

Propriedade:

$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)]$ $=$ $\lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$

Exemplo:

$\lim_{x \to 4} (3x - 2)$ $=$ $\lim_{x \to 4} (3x) - \lim_{x \to 4} (2)$ $=$ $12 - 2 = 10$

Gráfico do Exemplo

h(4) = (3 × 4) - 2 = 12 - 2 = 10

Limite do Produto

Propriedade:

$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)]$ $=$ $\lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

Exemplo:

$\lim_{x \to 5} (2x \cdot 4x)$ $=$ $\lim_{x \to 5} (2x) \cdot \lim_{x \to 5} (4x)$ $=$ $(2 \times 5) \cdot (4 \times 5)$ $=$ $10 \cdot 20 = 200$

Gráfico do Exemplo

h(5) = (2 × 5) · (4 × 5) = 10 · 20 = 200

Uma outra propriedade associada a constantes e produtos é:

$\lim_{x \to a} (c f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$

Exemplo:

$\lim_{x \to 5} (2x^{3})$ $=$ $2 \cdot \lim_{x \to 5} (x^{3})$ $=$ $2 \cdot 125 = 250$

Limite do Quociente

Propriedade:

$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]$ $=$ $\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ se $\lim_{x \to a} g(x) \not= 0$

Exemplo:

$\lim_{x \to 2} \left[\frac{x^2}{2x}\right]$ $=$ $\frac{\lim_{x \to 2} x^2}{\lim_{x \to 2} 2x}$ $=$ $\frac{2^{2}}{2 \cdot 2}$ $=$ $\frac{4}{4} = 1$

Gráfico do Exemplo

h(2) = (2²)/(2·2) = 4/4 = 1

Limite de uma Potência

Propriedade:

$\lim_{x \to a} [f(x)]^{n} = [\lim_{x \to a} f(x)]^{n}$

Exemplo:

$\lim_{x \to 2} (x^{3}) = [\lim_{x \to 2} (2)]^{3}$ $=$ $2^{3} = 8$

Gráfico do exemplo

f(2) = 2³ = 8

Limite de uma Raiz

Propriedade:

$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$ sendo $n \in \mathbb{N}^{*}$

Exemplo:

$\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{2x^{2}} = \sqrt[3]{\lim_{x \to 2} 2x^{2}}$ $=$ $\sqrt[3]{2 \cdot 2^{2}} = \sqrt[3]{2 \cdot 4}$ $=$ $\sqrt[3]{8}$ $=$ $\sqrt[3]{2^{3}} = 2$

Gráfico do Exemplo

f(2) = ³√(2 · 2²) = ³√(2 · 4) = ³√(8) = ³√(2³) = 2

Limite de uma Função Composta

Propriedade:

$\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(\lim_{x \to a} f(x))$

Exemplo:

$\lim_{x \to 10} [\log_{10} (100x)]$ $=$ $\log_{10} [\lim_{x \to 10} (100x)]$ $=$ $\log_{10} (1000) = 3$

Gráfico do Exemplo

f(10) = log(100 · 10) = log(1000) = 3

Limite de uma Função Exponencial

Propriedade:

$\lim_{x \to a} b^{f(x)} = b^{\lim_{x \to a} f(x)}$

Exemplo:

$\lim_{x \to 3} 2^{x} = 2^{\lim_{x \to 3} x} = 2^{3} = 8$

Gráfico do Exemplo

f(3) = 2³ = 8

Artigos

• Continuidade de uma Função e Limites (próximo)
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites
  

Referência Bibliográfica

MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Propriedades dos Limites. Publicado em: 11 jun. 2020. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2020/06/propriedades-dos-limites.html. Acesso em: 3 abr. 2025.