 |
Cavaleiros da Lógica
(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC
|
No artigo anterior em Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional, foi apresentado as três variações que uma proposição associada a uma condicional poder ter.
Diz-se que uma proposição $$\text{P}$$ implica logicamente ou apenas implica uma proposição $$\text{Q}$$, se $$\text{Q}$$ é verdadeira todas as vezes que $$\text{P}$$ é verdadeira.
Em outros termos, uma proposição $$\text{P}$$ implica logicamente ou apenas implica uma proposição $$\text{Q}$$ todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade não aparece V na última coluna de $$\text{P}$$ e F na última coluna de $$\text{Q}$$, com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.
Indica-se que a proposição $$\text{P}$$ implica a proposição $$\text{Q}$$ com a notação: $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
Observação importante: os símbolos $$\rightarrow$$ e $$\Rightarrow$$ são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica, enquanto que o segundo é de relação.
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.
Vejamos alguns exemplos:
As tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$, $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$, $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$, são:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
A proposição $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ é verdadeira somente na primeira linha, as proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$.
As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes regras de inferência.
- Adição: $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$.
- Simplificação: $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
As tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$, $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$, são:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
A proposição $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ é verdadeira nas linhas 1 e 4 e nessas linhas as proposições $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$ também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{P}$$.
A tabela-verdade da proposição $$(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{P}$$ é:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ | $$(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
Essa proposição é verdadeira somente na terceira linha e a proposição $$\text{Q}$$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $$(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$, denominada Regra do Silogismo Disjuntivo. Outra forma desta importante regra de inferência é $$(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$.
A tabela-verdade da proposição $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ é:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
Essa proposição é verdadeira somente na primeira linha e a proposição $$\text{Q}$$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$, denominada Regra Modus Ponens.
As tabelas-verdade das proposições $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ e $$\neg$$ $$\text{P}$$ são:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$ $$\text{Q}$$ | $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ | $$\neg$$$$\text{P}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
A proposição $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ é verdadeira somente na quarta linha e a proposição $$\neg$$ $$\text{P}$$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$ $$\wedge$$ $$\neg$$$$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$, denominada Regra Modus Tollens.
As mesmas tabelas-verdade também mostra que $$\neg$$ $$\text{P}$$ implica $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$, isto é $$\neg$$$$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$.
Propriedades da implicação lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
- (R) $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{P}$$.
- (T) Se $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{R}$$, então $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{R}$$.
Tautologias e implicação lógica
A proposição $$\text{P}$$ implica a proposição $$\text{Q}$$, isto é $$\text{P}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{Q}$$, se e somente se a condicional $$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$ é tautológica.Se $$\text{P}(\text{p, q, r, ...})$$ implica $$\text{Q}(\text{p, q, r, ...})$$, então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.
Reciprocamente, se a condicional é tautológica — isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V — então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições $$\text{P}(\text{p, q, r, ...})$$ e $$\text{Q}(\text{p, q, r, ...})$$ sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.
Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa.
Exemplos:
A condicional $$(\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$(\text{q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{r})$$ $$\rightarrow$$ $$(\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{r})$$ é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V. Logo, subsiste a implicação lógica: $$(\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$(\text{q}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{r})$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{r}$$, denominada Regra do Silogismo hipotético.
A condicional $$(\text{p}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{p})$$ $$\rightarrow$$ $$\text{q}$$ é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V:
$$\text{p}$$
|
$$\text{q}$$
|
$$\neg$$$$\text{p}$$
|
$$\text{p}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{p}$$
|
$$\text{p}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{q}$$
|
|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
Logo, subsiste a implicação lógica $$\text{p}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{p}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{q}$$. Assim, de uma contradição $$\text{p}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{p}$$ se deduz qualquer proposição $$\text{q}$$, denominamos de Princípio da Inconsistência.
A proposição $$(\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$\text{p}$$ implica a proposição $$\text{q}$$, pois, a condicional $$(\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$\text{p}$$ é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:
| $$\text{p}$$ | $$\text{q}$$ | $$\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q}$$ | $$(\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$\text{p}$$ | $$(\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$\text{p}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{q}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
Portanto, simbolicamente $$(\text{p}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{q})$$ $$\wedge$$ $$\text{p}$$ $$\Rightarrow$$ $$\text{q}$$.
O que você aprendeu
O presente artigo teve como objetivo introduzir ao leitor a uma importante característica da lógica proposicional, conhecida como argumentos e regra de inferência. Especificamente, você aprendeu:- O que é uma implicação lógica.
- Como descobrir se uma fórmula implica logicamente outra.
- Tautologias e implicação lógica.
- Algumas regras de inferência.
Continua em
Continuação de
Referência Bibliográfica
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.
Para citar esse artigo:
Comentários
Postar um comentário