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Cavaleiros da Lógica
(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC
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No artigo anterior em Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional, foi apresentado as três variações que uma proposição associada a uma condicional poder ter.
Diz-se que uma proposição P implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q, se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira.
Em outros termos, uma proposição P implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade não aparece V na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.
Indica-se que a proposição P implica a proposição Q com a notação: P ⇒ Q.
Observação importante: os símbolos → e ⇒ são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica, enquanto que o segundo é de relação.
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.
Vejamos alguns exemplos:
As tabelas-verdade das proposições P ∧ Q, P ∨ Q, P ↔ Q, são:
P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ↔ Q |
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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F
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F
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V
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A proposição P ∧ Q é verdadeira somente na primeira linha, as proposições P ∨ Q e P → Q também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: P ∧ Q ⇒ P ∨ Q e P ∧ Q ⇒ P ↔ Q.
As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes regras de inferência.
- Adição: P ⇒ P ∨ Q e Q ⇒ P ∨ Q.
- Simplificação: P ∧ Q ⇒ P e P ∧ Q ⇒ Q.
As tabelas-verdade das proposições P ↔ Q, P → Q e Q → P, são:
P | Q | P ↔ Q | P → Q | Q → P |
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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V
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A proposição P ↔ Q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e nessas linhas as proposições P → Q e Q → P também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: P ↔ Q ⇒ P → Q e P ↔ Q ⇒ Q → P.
A tabela-verdade da proposição (P ∨ Q) ∧ ¬P é:
P | Q | P ∨ Q | ¬P | (P ∨ Q) ∧ ¬ P |
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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F
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F
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F
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F
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F
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F
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V
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F
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Essa proposição é verdadeira somente na terceira linha e a proposição Q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P ∨ Q) ∧ ¬ P ⇒ Q, denominada Regra do Silogismo Disjuntivo. Outra forma desta importante regra de inferência é (P ∨ Q) ∧ ¬ Q ⇒ P.
A tabela-verdade da proposição (P → Q) ∧ P é:
P | Q | P → Q | (P → Q) ∧ P |
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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Essa proposição é verdadeira somente na primeira linha e a proposição Q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P → Q) ∧ P ⇒ Q, denominada Regra Modus Ponens.
As tabelas-verdade das proposições (P → Q) ∧ ¬ Q e ¬ P são:
P | Q | P → Q | ¬ Q | (P → Q) ∧ ¬ Q | ¬P |
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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F
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V
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V
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V
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V
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A proposição (P → Q) ∧ ¬ Q é verdadeira somente na quarta linha e a proposição ¬ P também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P → Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬ P, denominada Regra Modus Tollens.
As mesmas tabelas-verdade também mostra que ¬ P implica P → Q, isto é ¬P ⇒ P → Q.
Propriedades da implicação lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
- (R) P ⇒ P.
- (T) Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R.
Tautologias e implicação lógica
A proposição P implica a proposição Q, isto é P ⇒ Q, se e somente se a condicional P → Q é tautológica.Se P(p, q, r, ...) implica Q(p, q, r, ...), então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.
Reciprocamente, se a condicional é tautológica — isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V — então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P(p, q, r, ...) e Q(p, q, r, ...) sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.
Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa.
Exemplos:
A condicional (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V. Logo, subsiste a implicação lógica: (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r, denominada Regra do Silogismo hipotético.
A condicional (p ∧ ¬ p) → q é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V:
p
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q
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¬p
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p ∧ ¬ p
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p ∧ ¬ p → q
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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V
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F
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F
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V
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F
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V
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Logo, subsiste a implicação lógica p ∧ ¬ p ⇒ q. Assim, de uma contradição p ∧ ¬ p se deduz qualquer proposição q, denominamos de Princípio da Inconsistência.
A proposição (p ↔ q) ∧ p implica a proposição q, pois, a condicional (p ↔ q) ∧ p é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p | q | p ↔ q | (p ↔ q) ∧ p | (p ↔ q) ∧ p → q |
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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V
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F
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F
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V
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F
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F
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V
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F
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V
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Portanto, simbolicamente (p ↔ q) ∧ p ⇒ q.
O que você aprendeu
O presente artigo teve como objetivo introduzir ao leitor a uma importante característica da lógica proposicional, conhecida como argumentos e regra de inferência. Especificamente, você aprendeu:- O que é uma implicação lógica.
- Como descobrir se uma fórmula implica logicamente outra.
- Tautologias e implicação lógica.
- Algumas regras de inferência.
Continua em
Continuação de
Referência Bibliográfica
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.
Para citar esse artigo:
BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Implicação Lógica. Publicado em: 29 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/logica-proposicional-implicacao-logica.html. Acesso em: 3 abr. 2025.
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