Lógica Proposicional - Implicação Lógica

Cavaleiros da Lógica
(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC

No artigo anterior em Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional, foi apresentado as três variações que uma proposição associada a uma condicional poder ter.

Diz-se que uma proposição P implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q, se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira.

Em outros termos, uma proposição P implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade não aparece V na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.

Indica-se que a proposição P implica a proposição Q com a notação: P  Q.

Observação importante: os símbolos e são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica, enquanto que o segundo é de relação.

Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.

Vejamos alguns exemplos:

As tabelas-verdade das proposições P Q, P Q, P Q, são:

PQP QP QP Q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V

A proposição P Q é verdadeira somente na primeira linha, as proposições P Q e P Q também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: P Q P Q e P Q P Q.

As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes regras de inferência.
  1. Adição: P P Q e Q P Q.
  2. Simplificação: P Q P e P Q Q.
As tabelas-verdade das proposições P Q, P Q e Q P, são:

PQP QP QQ P
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V

A proposição P Q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e nessas linhas as proposições P Q e Q P também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: P Q P Q e P Q Q P.

A tabela-verdade da proposição (P Q) ¬P é:

PQP Q¬P(P Q) ¬ P
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F

Essa proposição é verdadeira somente na terceira linha e a proposição Q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P Q) ¬ P Q, denominada Regra do Silogismo Disjuntivo. Outra forma desta importante regra de inferência é (P Q) ¬ Q P.

A tabela-verdade da proposição (P Q) P é:

PQP Q(P Q) P
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F

Essa proposição é verdadeira somente na primeira linha e a proposição Q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P Q) P Q, denominada Regra Modus Ponens.

As tabelas-verdade das proposições (P Q) ¬ Q e ¬ P são:

PQP Q¬ Q(P Q) ¬ Q¬P
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V

A proposição (P Q) ¬ Q é verdadeira somente na quarta linha e a proposição ¬ P também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica (P Q) ¬Q ¬ P, denominada Regra Modus Tollens.

As mesmas tabelas-verdade também mostra que ¬ P implica P Q, isto é ¬P P Q.

Propriedades da implicação lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
  • (R) P P.
  • (T) Se P Q e Q R, então P R.

Tautologias e implicação lógica

A proposição P implica a proposição Q, isto é P Q, se e somente se a condicional P Q é tautológica.

Se P(p, q, r, ...) implica Q(p, q, r, ...), então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.

Reciprocamente, se a condicional é tautológica — isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V — então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P(p, q, r, ...)Q(p, q, r, ...) sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.

Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa.

Exemplos:

A condicional (p q) (q r) (p r) é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com  a letra V. Logo, subsiste a implicação lógica: (p q) (q r) p r, denominada Regra do Silogismo hipotético.

A condicional (p ¬ p) q é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V:

p
q
¬p
p ¬ p
p ¬ p q
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V

Logo, subsiste a implicação lógica p ¬ p q. Assim, de uma contradição p ¬ p se deduz qualquer proposição q, denominamos de Princípio da Inconsistência.

A proposição (p q) p implica a proposição q, pois, a condicional (p q) p é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:

pqp q(p q) p(p q) p q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V

Portanto, simbolicamente (p q) p q.

O que você aprendeu

O presente artigo teve como objetivo introduzir ao leitor a uma importante característica da lógica proposicional, conhecida como argumentos e regra de inferência. Especificamente, você aprendeu:
  • O que é uma implicação lógica.
  • Como descobrir se uma fórmula implica logicamente outra.
  • Tautologias e implicação lógica.
  • Algumas regras de inferência.

Continua em

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Referência Bibliográfica 
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.


Para citar esse artigo:
BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Implicação Lógica. Publicado em: 29 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/logica-proposicional-implicacao-logica.html. Acesso em: 3 abr. 2025.

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