Lógica Proposicional - Implicação Lógica

Cavaleiros da Lógica

(Foto: Aleksandra P. / FreeImages) CC BY-NC

No artigo anterior em Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional, foi apresentado as três variações que uma proposição associada a uma condicional poder ter.

Diz-se que uma proposição $\text{P}$ implica logicamente ou apenas implica uma proposição $\text{Q}$, se $\text{Q}$ é verdadeira todas as vezes que $\text{P}$ é verdadeira.

Em outros termos, uma proposição $\text{P}$ implica logicamente ou apenas implica uma proposição $\text{Q}$ todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade não aparece V na última coluna de $\text{P}$ e F na última coluna de $\text{Q}$, com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre $\text{P}$ e $\text{Q}$ com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.

Indica-se que a proposição $\text{P}$ implica a proposição $\text{Q}$ com a notação: $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$.

Observação importante: os símbolos $\rightarrow$ e $\Rightarrow$ são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica, enquanto que o segundo é de relação.

Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.

Vejamos alguns exemplos:

As tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$, $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$, $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$, são:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	F	V

A proposição $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ é verdadeira somente na primeira linha, as proposições $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ e $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ e $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$.

As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes regras de inferência.

1. Adição: $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$.
2. Simplificação: $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ e $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$.

As tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$, $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$, são:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$	$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$	$\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	V	F
F	F	V	V	V

A proposição $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ é verdadeira nas linhas 1 e 4 e nessas linhas as proposições $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$ também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ e $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$ $\rightarrow$ $\text{P}$.

A tabela-verdade da proposição $(\text{P}$ $\vee$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$$\text{P}$ é:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\neg$$\text{P}$	$(\text{P}$ $\vee$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{P}$
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	V	V	V
F	F	F	V	F

Essa proposição é verdadeira somente na terceira linha e a proposição $\text{Q}$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $(\text{P}$ $\vee$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$, denominada Regra do Silogismo Disjuntivo. Outra forma desta importante regra de inferência é $(\text{P}$ $\vee$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$.

A tabela-verdade da proposição $(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\text{P}$ é:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$	$(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\text{P}$
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

Essa proposição é verdadeira somente na primeira linha e a proposição $\text{Q}$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$, denominada Regra Modus Ponens.

As tabelas-verdade das proposições $(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{Q}$ e $\neg$ $\text{P}$ são:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$	$\neg$ $\text{Q}$	$(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{Q}$	$\neg$$\text{P}$
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V

A proposição $(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$ $\text{Q}$ é verdadeira somente na quarta linha e a proposição $\neg$ $\text{P}$ também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica $(\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q})$ $\wedge$ $\neg$$\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\neg$ $\text{P}$, denominada Regra Modus Tollens.

As mesmas tabelas-verdade também mostra que $\neg$ $\text{P}$ implica $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$, isto é $\neg$$\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$.

Propriedades da implicação lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:

• (R) $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{P}$.
• (T) Se $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\Rightarrow$ $\text{R}$, então $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{R}$.

Tautologias e implicação lógica

A proposição $\text{P}$ implica a proposição $\text{Q}$, isto é $\text{P}$ $\Rightarrow$ $\text{Q}$, se e somente se a condicional $\text{P}$ $\rightarrow$ $\text{Q}$ é tautológica.

Se $\text{P}(\text{p, q, r, ...})$ implica $\text{Q}(\text{p, q, r, ...})$, então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.

Reciprocamente, se a condicional é tautológica — isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V — então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições $\text{P}(\text{p, q, r, ...})$ e $\text{Q}(\text{p, q, r, ...})$ sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.

Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa.

Exemplos:

A condicional $(\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $(\text{q}$ $\rightarrow$ $\text{r})$ $\rightarrow$ $(\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{r})$ é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com  a letra V. Logo, subsiste a implicação lógica: $(\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $(\text{q}$ $\rightarrow$ $\text{r})$ $\Rightarrow$ $\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{r}$, denominada Regra do Silogismo hipotético.

A condicional $(\text{p}$ $\wedge$ $\neg$ $\text{p})$ $\rightarrow$ $\text{q}$ é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente com a letra V:

$\text{p}$	$\text{q}$	$\neg$$\text{p}$	$\text{p}$ $\wedge$ $\neg$ $\text{p}$	$\text{p}$ $\wedge$ $\neg$ $\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{q}$
V	V	F	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Logo, subsiste a implicação lógica $\text{p}$ $\wedge$ $\neg$ $\text{p}$ $\Rightarrow$ $\text{q}$. Assim, de uma contradição $\text{p}$ $\wedge$ $\neg$ $\text{p}$ se deduz qualquer proposição $\text{q}$, denominamos de Princípio da Inconsistência.

A proposição $(\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $\text{p}$ implica a proposição $\text{q}$, pois, a condicional $(\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $\text{p}$ é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:

$\text{p}$	$\text{q}$	$\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q}$	$(\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $\text{p}$	$(\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $\text{p}$ $\rightarrow$ $\text{q}$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

Portanto, simbolicamente $(\text{p}$ $\leftrightarrow$ $\text{q})$ $\wedge$ $\text{p}$ $\Rightarrow$ $\text{q}$.

O que você aprendeu

O presente artigo teve como objetivo introduzir ao leitor a uma importante característica da lógica proposicional, conhecida como argumentos e regra de inferência. Especificamente, você aprendeu:

• O que é uma implicação lógica.
• Como descobrir se uma fórmula implica logicamente outra.
• Tautologias e implicação lógica.
• Algumas regras de inferência.

Continua em

Lógica Proposicional - Negação das Proposições

Continuação de

Lógica Proposicional - Proposições Associadas a uma Condicional

Referência Bibliográfica 

FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.

Para citar esse artigo:

BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Implicação Lógica. Publicado em: 29 ago. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/08/logica-proposicional-implicacao-logica.html. Acesso em: 4 abr. 2025.