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No artigo anterior em implicação lógica, fomos apresentados ao conceito de implicação lógica e introduzidos a algumas regras de inferência. Neste artigo abordaremos como se dá uma negação a algumas proposições compostas, quando se encontram inseridas dentro de uma lógica muito específica que diz respeito ao modo como funcionam as proposições em geral, isto é, quando se encontram diante de algumas determinadas leis que são responsáveis por reger as proposições e suas flexibilizações no estudo da lógica.
Dentro das diversas esferas e situações propostas pelo raciocínio lógico, a negação das proposições compostas é sempre uma atividade bastante interessante para desvendarmos os mistérios que a lógica apresenta dentro da nossa linguagem e do nosso modo de pensar e encadear ideias. Isso porque elas nos fazem perceber como é diverso o conteúdo apresentado em cada situação recorrente, e como, ao mesmo tempo em que essas situações se enunciam com uma dinâmica que parece ser mera consequência do que já havia sido estabelecido, elas são completamente passíveis de receber uma negação qualquer. Ou seja: em qualquer proposição, ainda que ela seja composta, cabe uma negação de maneira coerente.
Dentro das diversas esferas e situações propostas pelo raciocínio lógico, a negação das proposições compostas é sempre uma atividade bastante interessante para desvendarmos os mistérios que a lógica apresenta dentro da nossa linguagem e do nosso modo de pensar e encadear ideias. Isso porque elas nos fazem perceber como é diverso o conteúdo apresentado em cada situação recorrente, e como, ao mesmo tempo em que essas situações se enunciam com uma dinâmica que parece ser mera consequência do que já havia sido estabelecido, elas são completamente passíveis de receber uma negação qualquer. Ou seja: em qualquer proposição, ainda que ela seja composta, cabe uma negação de maneira coerente.
Antes de tudo, é preciso ter em mente que ao trabalharmos nesse assunto temos o desafio inicial de conseguir identificar, de antemão, qual é a proposição que equivale fielmente à negação da proposição dada. Isso porque, na hora de negar uma proposição simples, sabemos que se trata de uma tarefa sem grandes desafios embricados dentro de si. Entretanto, uma série de dificuldades podem surgir quando o assunto é negar uma proposição que seja composta.
Para que esse enunciado fique mais fácil, é salutar saber que a chamada negação de uma proposição deve ter sempre um valor lógico que se opõe de maneira contundente àquele que foi gerado pela proposição dada. Sendo assim, podemos entender como exemplo que, sempre que uma proposição $$\text{P}$$ for considerada verdadeira, é de lei que sua negação $$\neg\text{P}$$ tem que ser considerada falsa, esta situação é reciproca.
Vimos no artigo Equivalência Lógica que uma proposição $$\text{A}$$ é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição $$\text{B}$$ se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. A negação possui um caso semelhante.
Diz-se que uma proposição $$\text{A}$$ é a negação da proposição $$\text{B}$$ se a tabela-verdade de $$\text{A}$$ for o oposto de $$\text{B}$$.
Como verificar se a proposição $$\text{A}$$ é a negação de $$\text{B}$$?
- Construa a tabela-verdade de $$\text{A}$$.
- Construa a tabela-verdade de $$\text{B}$$, usando os mesmos valores de variáveis para as afirmações que formam a proposição.
- Verifique se a tabela-verdade de $$\text{A}$$ é oposta a de $$\text{B}$$.
Negação Direta
Entre os tipos de negação, a direta é a mais simples de se fazer. Basta colocarmos a sentença entre parênteses e o conectivo $$\neg$$ (caso a mesma seja complexa) na frente do primeiro parênteses.
Vejamos alguns exemplos:
Dada a fórmula $$\text{A}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é simples, devemos apenas acrescentar, na frente o conectivo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$.
Seguindo os passos de verificação de negação, devemos inicialmente construir a tabela-verdade de $$\text{A}$$. Vejamos:
Após a construção da tabela-verdade de $$\text{A}$$. devemos construir a tabela de sua negação, $$\neg$$ $$\text{A}$$. Logo, teremos:
E para finalizar devemos verificar se a tabela-verdade de $$\neg$$ $$\text{A}$$ e aposta a de $$\text{A}$$. Vejamos:
Realmente, $$\neg$$ $$\text{A}$$ é a negação de $$\text{A}$$.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Ressaltando que se nós não inserirmos a fórmula complexa em um conjunto de parênteses, antes de aplicar o símbolo de negação, estaremos obtendo um resultado inesperado e incorreto, porque assim como na matemática, na lógica os conectivos também possuem uma hierarquia. Se você não se lembra qual é a hierarquia, então leia o artigo Lógica Proposicional - Fórmulas Atômicas e Complexas.
A negação direta de uma fórmula pode ser realizada em apenas uma tabela. Vejamos:
Com base na tabela, concluímos que $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ é a negação de $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
Caso você não se lembre dos valores verdade de cada conectivo, veja o artigo Lógica Proposicional - Conectivo e Tabela-Verdade.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
Realizar a negação direta de uma proposição é algo simples de se fazer, mas não usufruirmos da total capacidade que a lógica proposicional nos proporciona. Dificilmente, nas provas do ensino superior, iremos nos deparar com uma negação direta, mas sim com uma negação equivalente.
Vejamos alguns exemplos:
Dada a fórmula $$\text{A}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é simples, devemos apenas acrescentar, na frente o conectivo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$.
Seguindo os passos de verificação de negação, devemos inicialmente construir a tabela-verdade de $$\text{A}$$. Vejamos:
| $$\text{A}$$ |
|---|
V
|
F
|
Após a construção da tabela-verdade de $$\text{A}$$. devemos construir a tabela de sua negação, $$\neg$$ $$\text{A}$$. Logo, teremos:
| $$\neg$$ $$\text{A}$$ |
|---|
F
|
V
|
E para finalizar devemos verificar se a tabela-verdade de $$\neg$$ $$\text{A}$$ e aposta a de $$\text{A}$$. Vejamos:
| $$\text{A}$$ | $$\neg$$ $$\text{A}$$ |
|---|---|
V
|
F
|
F
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V
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Realmente, $$\neg$$ $$\text{A}$$ é a negação de $$\text{A}$$.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Ressaltando que se nós não inserirmos a fórmula complexa em um conjunto de parênteses, antes de aplicar o símbolo de negação, estaremos obtendo um resultado inesperado e incorreto, porque assim como na matemática, na lógica os conectivos também possuem uma hierarquia. Se você não se lembra qual é a hierarquia, então leia o artigo Lógica Proposicional - Fórmulas Atômicas e Complexas.
A negação direta de uma fórmula pode ser realizada em apenas uma tabela. Vejamos:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
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F
|
V
|
F
|
V
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F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Com base na tabela, concluímos que $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ é a negação de $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
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V
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F
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F
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F
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V
|
V
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F
|
F
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F
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V
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Caso você não se lembre dos valores verdade de cada conectivo, veja o artigo Lógica Proposicional - Conectivo e Tabela-Verdade.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
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V
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F
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V
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V
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V
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F
|
F
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V
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V
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|
F
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V
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Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
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V
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V
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F
|
V
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|
F
|
V
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F
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Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação direta.
Como a fórmula em questão é composta, devemos inseri-la em um conjunto de parênteses e, na frente do primeiro, inserir o simbolo da negação. Logo, teremos: $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$. Obteremos a seguinte tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
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F
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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Realizar a negação direta de uma proposição é algo simples de se fazer, mas não usufruirmos da total capacidade que a lógica proposicional nos proporciona. Dificilmente, nas provas do ensino superior, iremos nos deparar com uma negação direta, mas sim com uma negação equivalente.
Negação Equivalente
A negação de uma proposição $$\text{P}$$ é uma outra proposição cujo valor lógico é sempre oposto ao da proposição original.
Ao contrário da negação direita, a equivalente busca usufruir da total capacidade que a lógica proposicional nos proporciona.
Vejamos alguns exemplos:
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Caso você não se lembre do que é equivalência, veja o artigo Lógica Proposicional - Equivalência Lógica.
A tabela-verdade da negação direta é:
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional e, basta negarmos ambas as proposições individuais (simples) e trocarmos o conectivo e pelo conectivo ou. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção inclusiva. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representada pelos mesmos valores. Esta equivalência é chamada de 1º Lei de De Morgan.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional ou, basta negarmos ambas as proposições individuais (simples) e trocarmos o conectivo ou pelo conectivo e. Ou seja, transformaremos uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores. Esta equivalência é chamada de 2º Lei de De Morgan.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva, basta transformá-la em uma estrutura bicondicional. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte e troca-se o conectivo por e e nega-se a segunda parte. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma estrutura bicondicional, basta transformá-la em uma disjunção exclusiva. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Segue um quadro resumo com as negações mais comuns em provas:
A negação é recíproca, ou seja, se x é a negação de y, então y é a negação de x.
A negação disjunta de duas proposições $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ também se indica pela notação $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$. Portanto, temos: $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$.
Como a proposição $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ é falsa somente no caso em que $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ são ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$ é a seguinte:
Ao contrário da negação direita, a equivalente busca usufruir da total capacidade que a lógica proposicional nos proporciona.
Vejamos alguns exemplos:
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$. Caso você não se lembre do que é equivalência, veja o artigo Lógica Proposicional - Equivalência Lógica.
A tabela-verdade da negação direta é:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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F
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V
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|
V
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Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional e, basta negarmos ambas as proposições individuais (simples) e trocarmos o conectivo e pelo conectivo ou. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção inclusiva. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$\neg$$ $$\text{A}$$ | $$\neg$$ $$\text{B}$$ | $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
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V
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F
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F
|
F
|
V
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F
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V
|
V
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V
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V
|
F
|
V
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F
|
F
|
V
|
V
|
V
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Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representada pelos mesmos valores. Esta equivalência é chamada de 1º Lei de De Morgan.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\vee$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
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V
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V
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|
V
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|
V
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V
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F
|
F
|
F
|
V
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Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional ou, basta negarmos ambas as proposições individuais (simples) e trocarmos o conectivo ou pelo conectivo e. Ou seja, transformaremos uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Logo, teremos: $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$\neg$$ $$\text{A}$$ | $$\neg$$ $$\text{B}$$ | $$\neg$$ $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$ |
|---|---|---|---|---|
V
|
V
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F
|
F
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F
|
V
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F
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F
|
V
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V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores. Esta equivalência é chamada de 2º Lei de De Morgan.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
F
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V
|
V
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|
V
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V
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V
|
F
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F
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F
|
F
|
V
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Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva, basta transformá-la em uma estrutura bicondicional. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$ |
|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Dada a fórmula $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$, faça a sua negação equivalente.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
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F
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F
|
V
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F
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V
|
V
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F
|
F
|
F
|
V
|
F
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Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte e troca-se o conectivo por e e nega-se a segunda parte. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$\neg$$ $$\text{B}$$ | $$\text{A}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{B}$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
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F
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F
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V
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F
|
V
|
V
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F
|
V
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F
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F
|
F
|
F
|
V
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F
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Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Sabemos que a negação direta de $$\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B}$$ é $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$. Basta agora encontrarmos uma formula equivalente a $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$.
A tabela-verdade da negação direta é:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$ | $$\neg$$ $$(\text{A}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{B})$$ |
|---|---|---|---|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
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F
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V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma estrutura bicondicional, basta transformá-la em uma disjunção exclusiva. Logo, teremos: $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$. Vejamos a sua tabela-verdade:
| $$\text{A}$$ | $$\text{B}$$ | $$\text{A}$$ $$\veebar$$ $$\text{B}$$ |
|---|---|---|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
Repare que em ambas as tabelas, a última coluna é representa pelos mesmos valores.
Segue um quadro resumo com as negações mais comuns em provas:
| Proposição | Negação Direta | Negação Equivalente |
|---|---|---|
$$\text{P}$$
|
$$\neg$$ $$\text{P}$$
|
$$\neg$$ $$\text{P}$$
|
$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$
|
$$\neg$$ $$(\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q})$$
|
$$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$
|
$$\neg$$ $$(\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q})$$
|
$$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\veebar$$ $$\text{Q}$$
|
$$\neg$$ $$(\text{P}$$ $$\veebar$$ $$\text{Q})$$
|
$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q}$$
|
$$\neg$$ $$(\text{P}$$ $$\rightarrow$$ $$\text{Q})$$
|
$$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$
|
$$\neg$$ $$(\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q})$$
|
$$\text{P}$$ $$\veebar$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$=$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\neq$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\neq$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$>$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\le$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\le$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$<$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\ge$$ $$\text{Q}$$
|
$$\text{P}$$ $$\ge$$ $$\text{Q}$$
|
A negação é recíproca, ou seja, se x é a negação de y, então y é a negação de x.
Negação conjunta de duas proposições
Chama-se negação conjunta de duas proposições $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ a proposição não p e não q, isto é, simbolicamente $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$.
A negação conjunta de duas proposições $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ também se indica pela notação $$\text{P}$$ $$\downarrow$$ $$\text{Q}$$. Portanto, temos: $$\text{P}$$ $$\downarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$.
Como a proposição $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ é verdade somente no caso em que $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ são ambas falsas, então, a tabela-verdade de $$\text{P}$$ $$\downarrow$$ $$\text{Q}$$ é a seguinte:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\downarrow$$ $$\text{Q}$$ |
|---|---|---|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Negação disjunta de duas proposições
Chama-se negação disjunta de duas proposições $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ a proposição não p ou não q, isto é, simbolicamente $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$.A negação disjunta de duas proposições $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ também se indica pela notação $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$. Portanto, temos: $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$.
Como a proposição $$\neg$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\neg$$ $$\text{Q}$$ é falsa somente no caso em que $$\text{P}$$ e $$\text{Q}$$ são ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$ é a seguinte:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\uparrow$$ $$\text{Q}$$ |
|---|---|---|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
Os símbolos $$\downarrow$$ e $$\uparrow$$ são chamados conectivos de SCHEFFER.
O que você aprendeu
Este artigo teve como objetivo apresentar ao leitor os métodos de obter uma negação de uma sentença qualquer. E neste oportuno momento você pode conhecer:
- O que é uma negação direta.
- O que é uma negação equivalente.
- A lei de De Morgan.
- Negação conjunta.
- Negação disjunta.
- As negações mais comuns em provas.
Continua em
Continuação de
Referência Bibliográfica
ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.
ALMEIDA, M; OLIVEIRA, R; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.
COPPIN. B. Inteligência Artificial. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 635p.
FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.
GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995. 518 p.
TUDO DE CONCURSOS E VESTIBULARES. Negação das Proposições Compostas. Disponível em: <http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/11/negacao-das-proposicoes-compostas.html>. Acesso em: 30 ago. 2016.
RESUMO ESCOLAR. Negação de Proposições Compostas. Disponível em: <http://www.resumoescolar.com.br/portugues/negacao-de-proposicoes-compostas/>. Acesso em: 30 ago. 2016.
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RESUMO ESCOLAR. Negação de Proposições Compostas. Disponível em: <http://www.resumoescolar.com.br/portugues/negacao-de-proposicoes-compostas/>. Acesso em: 30 ago. 2016.
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