Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2)

Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2)

Os artigos Lógica Proposicional - Árvore de Refutação, Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, Lógica Proposicional - Implicação Lógica e Lógica Proposicional - Negação das Proposições nos apresentaram algumas regras de inferências e propriedades da lógica proposicional.

Este artigo aprofunda e revisa os estudos das propriedades da conjunção e da disjunção inclusiva.

Propriedades da Conjunção

Sejam $\text{P}$, $\text{Q}$ e $\text{R}$ proposições simples quaisquer e sejam $\text{T}$ e $\text{C}$ proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são $\text{V}$ (verdade) e $\text{F}$ (falsidade).

Idempotente: $\text{P}$ $\wedge$ $\text{P}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ $\text{P}$ e $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\wedge$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{P}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$
V	V	V
F	F	V

Vejamos alguns exemplos:

1. x $\not=$ 1 $\wedge$ x $\not=$ 1 $\Longleftrightarrow$ x $\not=$ 1.
2. x $<$ 0 $\wedge$ x $<$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $<$ 0.

Comutativa: $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{Q}$ $\wedge$ $\text{P}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\wedge$ $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\wedge$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	$\text{Q}$ $\wedge$ $\text{P}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\wedge$ $\text{P}$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

Vejamos alguns exemplos:

1. x $\not=$ 1 $\wedge$ x $>$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $>$ 0 $\wedge$ x $\not=$ 1.
2. $\pi$ $>$ 3 $\wedge$ $\pi$ $<$ 4 $\Longleftrightarrow$ $\pi$ $<$ 4 $\wedge$ $\pi$ $>$ 3.
3. $\sqrt2$ $>$ 1 $\wedge$ $\sqrt5$ $<$ 3 $\Longleftrightarrow$ $\sqrt5$ $<$ 3 $\wedge$ $\sqrt2$ $>$ 1.

Associativa: ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\wedge$ $\text{R}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$). Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\wedge$ $\text{R}$ e $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$).

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{R}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$	($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\wedge$ $\text{R}$	$\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$	$\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	F	F	V	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

Observe-se que a bicondicional ($\text{P}$ $\wedge$ $\text{Q}$) $\wedge$ $\text{R}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ $\wedge$ ($\text{Q}$ $\wedge$ $\text{R}$) é tautológica. Assim, temos:

1. (a $\ge$ b $\wedge$ b $\neq$ c) $\wedge$ c $<$ d $\Longleftrightarrow$ a $\ge$ b $\wedge$ (b $\neq$ c $\wedge$ c $<$ d).
2. (x $\neq$ 0 $\wedge$ x $>$ 1) $\wedge$ x $<$ 3 $\Longleftrightarrow$ x $\neq$ 0 $\wedge$ (x $>$ 1 $\wedge$ x $<$ 3).

Identidade: $\text{P}$ $\wedge$ $\text{T}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ e $\text{P}$ $\wedge$ $\text{C}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{C}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\wedge$ $\text{T}$ e $\text{P}$, $\text{P}$ $\wedge$ $\text{C}$ e $\text{C}$, ou seja, as bicondicionais $\text{P}$ $\wedge$ $\text{T}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ e $\text{P}$ $\wedge$ $\text{C}$ $\leftrightarrow$ $\text{C}$ são tautológicas:

$\text{P}$	$\text{T}$	$\text{C}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{T}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{C}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{T}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$	$\text{P}$ $\wedge$ $\text{C}$ $\leftrightarrow$ $\text{C}$
V	V	F	V	F	V	V
F	V	F	F	F	V	V

Estas propriedades exprimem que $\text{T}$ e $\text{C}$ são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção. Assim, temos:

1. x $\neq$ 1 $\wedge$ | x | $\ge$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\neq$ 1.
2. x $\neq$ 1 $\wedge$ | x | $<$ 0 $\Longleftrightarrow$ | x | $<$ 0.

Propriedades da Disjunção

Sejam $\text{P}$, $\text{Q}$ e $\text{R}$ proposições simples e sejam $\text{T}$ e $\text{C}$ proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V e F.

Idempotente: $\text{P}$ $\vee$ $\text{P}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\vee$ e $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\vee$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{P}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{P}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$
V	V	V
F	F	V

Vejamos alguns exemplos:

1. x $\not=$ 1 $\vee$ x $\not=$ 1 $\Longleftrightarrow$ x $\not=$ 1.
2. x $<$ 0 $\vee$ x $<$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $<$ 0.

Comutativa: $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ e $\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$, ou seja, a bicondicional $\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$ é tautológica:

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	$\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$ $\leftrightarrow$ $\text{Q}$ $\vee$ $\text{P}$
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	F	F	V

Vejamos alguns exemplos:

1. x $\not=$ 1 $\vee$ x $\le$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\le$ 0 $\vee$ x $\not=$ 1.
2. a $>$ b $\vee$ b $<$ c $\Longleftrightarrow$ b $<$ c $\vee$ a $>$ b.

Associativa: ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\vee$ $\text{R}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$). Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\vee$ $\text{R}$ e $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$).

$\text{P}$	$\text{Q}$	$\text{R}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$	($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\vee$ $\text{R}$	$\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$	$\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F

Observe-se que a bicondicional ($\text{P}$ $\vee$ $\text{Q}$) $\vee$ $\text{R}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ $\vee$ ($\text{Q}$ $\vee$ $\text{R}$) é tautológica. Assim, por exemplo, temos:

1. (x $\not=$ 1 $\vee$ x $\ge$ 2) $\vee$ x $\le$ 4 $\Longleftrightarrow$ x $\not=$ 1 $\vee$ (x $\ge$ 2 $\vee$ x $<$ 4).
2. (a $\not=$ b $\vee$ b $\le$ c) $\vee$ c $\vee$ d $\Longleftrightarrow$ a $\not=$ b $\vee$ (b $\le$ c $\vee$ c $\le$ d).

Identidade: $\text{P}$ $\vee$ $\text{T}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{T}$ e $\text{P}$ $\vee$ $\text{C}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{P}$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $\text{P}$ $\vee$ $\text{T}$ e $\text{T}$, $\text{P}$ $\vee$ $\text{C}$ e $\text{C}$, ou seja, as bicondicionais $\text{P}$ $\vee$ $\text{T}$ $\leftrightarrow$ $\text{T}$ e $\text{P}$ $\vee$ $\text{C}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$ são tautológicas:

$\text{P}$	$\text{T}$	$\text{C}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{T}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{C}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{T}$ $\leftrightarrow$ $\text{T}$	$\text{P}$ $\vee$ $\text{C}$ $\leftrightarrow$ $\text{P}$
V	V	F	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V	V

Estas propriedades exprimem que $\text{T}$ e $\text{C}$ são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjunção. Assim, por exemplo, temos:

1. x $\not=$ 1 $\vee$ | x | $\ge$ 0 $\Longleftrightarrow$ | x | $\ge$ 0.
2. x $\not=$ 1 $\vee$ | x | $<$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\not=$ 1.
3. x $\not=$ 0 $\vee$ x² $<$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\not=$ 0.

O que você aprendeu

Este artigo teve o propósito de aprofundar nas propriedades citadas ao decorrer dos artigos anteriores. No próximo artigo daremos continuidade a mais três propriedades.

Continua em 

Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (2/2)

Continuação de 

Lógica Proposicional - Negação das Proposições

Referência Bibliográfica 

ABE, J. M.; SCALZITTI, A.; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.

ALMEIDA, M.; OLIVEIRA, R.; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.

FILHO, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. 1. ed. São Paulo: Nobel, 2002. 204 p.


Para citar esse artigo:

BATISTA, G. A. Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2). Publicado em: 11 jul. 2018. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2018/07/logica-proposicional-algebra-proposicoes.html. Acesso em: 3 abr. 2025.