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| Lógica Proposicional - Álgebra das Proposições (1/2) |
Os artigos Lógica Proposicional - Árvore de Refutação, Lógica Proposicional - Equivalência Lógica, Lógica Proposicional - Implicação Lógica e Lógica Proposicional - Negação das Proposições nos apresentaram algumas regras de inferências e propriedades da lógica proposicional.
Este artigo aprofunda e revisa os estudos das propriedades da conjunção e da disjunção inclusiva.
Propriedades da Conjunção
Sejam $$\text{P}$$, $$\text{Q}$$ e $$\text{R}$$ proposições simples quaisquer e sejam $$\text{T}$$ e $$\text{C}$$ proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são $$\text{V}$$ (verdade) e $$\text{F}$$ (falsidade).
Idempotente: $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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Vejamos alguns exemplos:
- x $$\not=$$ 1 $$\wedge$$ x $$\not=$$ 1 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\not=$$ 1.
- x $$<$$ 0 $$\wedge$$ x $$<$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$<$$ 0.
Comutativa: $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{P}$$ |
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Vejamos alguns exemplos:
- x $$\not=$$ 1 $$\wedge$$ x $$>$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$>$$ 0 $$\wedge$$ x $$\not=$$ 1.
- $$\pi$$ $$>$$ 3 $$\wedge$$ $$\pi$$ $$<$$ 4 $$\Longleftrightarrow$$ $$\pi$$ $$<$$ 4 $$\wedge$$ $$\pi$$ $$>$$ 3.
- $$\sqrt2$$ $$>$$ 1 $$\wedge$$ $$\sqrt5$$ $$<$$ 3 $$\Longleftrightarrow$$ $$\sqrt5$$ $$<$$ 3 $$\wedge$$ $$\sqrt2$$ $$>$$ 1.
Associativa: ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ $$\text{R}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$). Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ $$\text{R}$$ e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$).
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$ | ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ $$\text{R}$$ | $$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) |
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Observe-se que a bicondicional ($$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{Q}$$) $$\wedge$$ $$\text{R}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\wedge$$ ($$\text{Q}$$ $$\wedge$$ $$\text{R}$$) é tautológica. Assim, temos:
- (a $$\ge$$ b $$\wedge$$ b $$\neq$$ c) $$\wedge$$ c $$<$$ d $$\Longleftrightarrow$$ a $$\ge$$ b $$\wedge$$ (b $$\neq$$ c $$\wedge$$ c $$<$$ d).
- (x $$\neq$$ 0 $$\wedge$$ x $$>$$ 1) $$\wedge$$ x $$<$$ 3 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\neq$$ 0 $$\wedge$$ (x $$>$$ 1 $$\wedge$$ x $$<$$ 3).
Identidade: $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{T}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{C}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{C}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{T}$$ e $$\text{P}$$, $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{C}$$ e $$\text{C}$$, ou seja, as bicondicionais $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{T}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ e $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{C}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{C}$$ são tautológicas:
| $$\text{P}$$ | $$\text{T}$$ | $$\text{C}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{T}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{C}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{T}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\wedge$$ $$\text{C}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{C}$$ |
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Estas propriedades exprimem que $$\text{T}$$ e $$\text{C}$$ são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção. Assim, temos:
- x $$\neq$$ 1 $$\wedge$$ | x | $$\ge$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\neq$$ 1.
- x $$\neq$$ 1 $$\wedge$$ | x | $$<$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ | x | $$<$$ 0.
Propriedades da Disjunção
Sejam $$\text{P}$$, $$\text{Q}$$ e $$\text{R}$$ proposições simples e sejam $$\text{T}$$ e $$\text{C}$$ proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V e F.
Idempotente: $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ e $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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Vejamos alguns exemplos:
- x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ x $$\not=$$ 1 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\not=$$ 1.
- x $$<$$ 0 $$\vee$$ x $$<$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$<$$ 0.
Comutativa: $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ e $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$, ou seja, a bicondicional $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ é tautológica:
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{P}$$ |
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Vejamos alguns exemplos:
- x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ x $$\le$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\le$$ 0 $$\vee$$ x $$\not=$$ 1.
- a $$>$$ b $$\vee$$ b $$<$$ c $$\Longleftrightarrow$$ b $$<$$ c $$\vee$$ a $$>$$ b.
Associativa: ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ $$\text{R}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$). Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ $$\text{R}$$ e $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$).
| $$\text{P}$$ | $$\text{Q}$$ | $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$ | ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ $$\text{R}$$ | $$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) |
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Observe-se que a bicondicional ($$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{Q}$$) $$\vee$$ $$\text{R}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ $$\vee$$ ($$\text{Q}$$ $$\vee$$ $$\text{R}$$) é tautológica. Assim, por exemplo, temos:
- (x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ x $$\ge$$ 2) $$\vee$$ x $$\le$$ 4 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ (x $$\ge$$ 2 $$\vee$$ x $$<$$ 4).
- (a $$\not=$$ b $$\vee$$ b $$\le$$ c) $$\vee$$ c $$\vee$$ d $$\Longleftrightarrow$$ a $$\not=$$ b $$\vee$$ (b $$\le$$ c $$\vee$$ c $$\le$$ d).
Identidade: $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{T}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{T}$$ e $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{C}$$ $$\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}$$. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{T}$$ e $$\text{T}$$, $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{C}$$ e $$\text{C}$$, ou seja, as bicondicionais $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{T}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{T}$$ e $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{C}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ são tautológicas:
| $$\text{P}$$ | $$\text{T}$$ | $$\text{C}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{T}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{C}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{T}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{T}$$ | $$\text{P}$$ $$\vee$$ $$\text{C}$$ $$\leftrightarrow$$ $$\text{P}$$ |
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Estas propriedades exprimem que $$\text{T}$$ e $$\text{C}$$ são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjunção. Assim, por exemplo, temos:
- x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ | x | $$\ge$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ | x | $$\ge$$ 0.
- x $$\not=$$ 1 $$\vee$$ | x | $$<$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\not=$$ 1.
- x $$\not=$$ 0 $$\vee$$ x² $$<$$ 0 $$\Longleftrightarrow$$ x $$\not=$$ 0.
O que você aprendeu
Este artigo teve o propósito de aprofundar nas propriedades citadas ao decorrer dos artigos anteriores. No próximo artigo daremos continuidade a mais três propriedades.Continua em
Continuação de
Referência Bibliográfica
ABE, J. M.; SCALZITTI, A.; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.
ALMEIDA, M.; OLIVEIRA, R.; MARIANO, F. Raciocínio Lógico e Matemática para Concursos Cespe/UnB: Teoria e Questões Resolvidas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 201 p.
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