Em artigos anteriores resolvemos algumas derivadas pela regra, segundo o que foi visto em Regras de Derivação. Em continuidade ao tema, agora resolveremos problemas combinando operações entre funções (veja aqui a parte 1). Após concluir os exercícios a seguir, veja a resolução logo abaixo.
a) $$f(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$$
b) $$y = 3x^{6} + 2x^{3} - 1$$
c) $$y = \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}$$
d) $$y = \frac{5x^{3} - 3x^{2} + 2}{x}$$
e) $$y = \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} - x^{2}}$$, com $$a$$ constante
Resolução
Caso já tenha resolvido os exercícios, então é hora de conferir as respostas.
a) $$f(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$$
Esta derivada envolve a divisão de duas funções, portanto, aplicaremos:
$$\left(\frac{\text{u}}{\text{v}}\right)' = \frac{\text{u}'\text{v} - \text{u}\text{v}'}{\text{v}^{2}}$$
$$\text{u } = x - 1 \Rightarrow \text{u }' = 1$$
$$\text{v } = 2x + 3 \Rightarrow \text{v }' = 2$$
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x + 3) - (x - 1) \cdot 2}{(2x + 3)^{2}}$$ $$=$$
$$\frac{2x + 3 - (2x -2)}{(2x + 3)^{2}}$$ $$ = $$ $$\frac{2x + 3 -2x + 2}{(2x
+ 3)^{2}}$$ $$ = \boxed{\frac{5}{(2x + 3)^{2}}}$$
b) $$y = 3x^{6} + 2x^{3} - 1$$
$$y' = \boxed{18x^{5} + 6x^{2}}$$
c) $$y = \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} = x^{\left(\frac{1}{2}\right)} - x^{\left(\frac{1}{3}\right)}$$
$$y' = \frac{1}{2} x^{\left(\frac{1}{2} - 1\right)} - \frac{1}{3} x^{\left(\frac{1}{3} - 1\right)} =$$
$$\frac{1}{2} x^{\left(-\frac{1}{2}\right)} - \frac{1}{3}x^{\left(-\frac{2}{3}\right)} =$$
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\left(\frac{1}{2}\right)}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\left(\frac{2}{3}\right)}} =$$
$$\boxed{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}$$
d) $$y = \frac{5x^{3} - 3x^{2} + 2}{x}$$
$$\text{u } = 5x^{3} - 3x^{2} + 2 \Rightarrow \text{u }' = 15x^{2} - 6x$$
$$\text{v } = x \Rightarrow \text{v }' = 1$$
$$y' = \frac{(15x^{2} - 6x)(x) - (5x^{3} - 3x^{2} + 2)(1)}{x^{2}} =$$
$$\frac{(15x^{3} - 6x^{2}) - (5x^{3} - 3x^{2} + 2)}{x^{2}} =$$
$$\frac{15x^{3} - 6x^{2} -5x^{3} + 3x^{2} - 2}{x^{2}} =$$
$$\boxed{\frac{10x^{3} - 3x^{2} - 2}{x^{2}}}$$
e) $$y = \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} - x^{2}}$$, com $$a$$ constante
$$\text{u } = a^{2} + x^{2} \Rightarrow \text{u }' = 2x$$
$$\text{v } = a^{2} - x^{2} \Rightarrow \text{v }' = -2x$$
$$y' = \frac{(2x)(a^{2} - x^{2}) - (a^{2} + x^{2})(-2x)}{(a^{2} - x^{2})^{2}} =$$
$$\frac{(2xa^{2} - 2x^{3}) - (-2xa^{2} -2x^{3})}{(a^{2} - x^{2})^{2}} =$$
$$\frac{2xa^{2} - 2x^{3} + 2xa^{2} +2x^{3}}{(a^{2} - x^{2})^{2}} =$$
$$\boxed{\frac{4xa^{4}}{(a^{2} - x^{2})^{2}}}$$
Neste artigo calculamos mais algumas derivadas através da aplicação de Regras de Derivação. Em específico, vimos como calcular derivadas envolvendo operações de entre funções. No próximo artigo, resolveremos algumas derivadas no ponto.
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Exercícios sobre o cálculo de derivadas no ponto (1/3) (próximo)
- Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas
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