Em artigos anteriores resolvemos algumas derivadas pela regra, segundo o que foi visto em Regras de Derivação. Em continuidade aos exercícios envolvendo cálculo de derivadas por regra, agora resolveremos problemas combinando operações entre funções. Após concluir os exercícios a seguir, veja a resolução logo abaixo.
a) $$y = x^{2}\ln(x)$$
b) $$y = \frac{2x}{x^{2}} + 1$$
c) $$f(x) =
2x(x^{2} + 3x)$$
d) $$f(x) = (3x - 2x^{2})(5 + 4x)$$
Resolução
Caso já tenha resolvido os exercícios, então é hora de conferir as respostas.
a) $$y = x^{2}\ln(x)$$
Esta derivada envolve o produto de duas funções, portanto, aplicaremos:
$$(\text{u} \cdot \text{v})' = \text{uv}' + \text{u}'\text{v}$$
$$\text{u } = x^{2} \Rightarrow \text{u }' = 2x$$
$$\text{v } = \ln(x) \Rightarrow \text{v }' = \frac{1}{x}$$
$$y' = x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 2x \cdot \ln(x) = \frac{x^{2}}{x} + 2x\ln(x) = $$ $$\boxed{x + 2x\ln(x)}$$
b) $$y = \frac{2x}{x^{2}} + 1 = \frac{2}{x} + 1 = 2x^{-1} + 1$$
Esta derivada envolve a soma de duas funções, portanto, aplicaremos:
$$(\text{u} + \text{v})' = \text{u}' + \text{v}'$$
$$\text{u } = 2x^{-1} \Rightarrow \text{u }' = -2x^{-2}$$
$$\text{v } = 1 \Rightarrow \text{v }' = 0$$
$$y' = -2x^{-2} = \boxed{-\frac{2}{x^{2}}}$$
c) $$f(x) = 2x(x^{2} + 3x) = 2x^{3} + 6x^{2}$$
$$f'(x) = \boxed{6x^{2} + 12x}$$
d) $$f(x) = (3x - 2x^{2})(5 + 4x) =$$ $$15x + 12x^{2} - 10x^{2}
-8x^{3}$$ $$= 15x + 2x^{2} - 8x^{3}$$
Esta derivada envolve, além da soma, a diferença entre duas funções, portanto, aplicaremos:
$$(\text{u} - \text{v})' = \text{u}' - \text{v}'$$
$$f'(x) = \boxed{15 + 4x - 24x^{2}}$$
Neste artigo calculamos mais algumas derivadas através da aplicação de Regras de Derivação. Em específico, vimos como calcular derivadas envolvendo operações entre funções. No próximo artigo, aprenderemos a calcular mais algumas derivadas envolvendo operações.
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Exercícios sobre o cálculo de derivadas envolvendo operações (2/2) (próximo)
- Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas
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