Exercícios sobre o cálculo de derivadas envolvendo operações (1/2)

Em artigos anteriores resolvemos algumas derivadas pela regra, segundo o que foi visto em Regras de Derivação. Em continuidade aos exercícios envolvendo cálculo de derivadas por regra, agora resolveremos problemas combinando operações entre funções. Após concluir os exercícios a seguir, veja a resolução logo abaixo.

 

a) $y = x^{2}\ln(x)$
b) $y = \frac{2x}{x^{2}} + 1$
c) $f(x) = 2x(x^{2} + 3x)$
d) $f(x) = (3x - 2x^{2})(5 + 4x)$

 

 

Resolução

Caso já tenha resolvido os exercícios, então é hora de conferir as respostas.

 

a) $y = x^{2}\ln(x)$

 

Esta derivada envolve o produto de duas funções, portanto, aplicaremos:

$(\text{u} \cdot \text{v})' = \text{uv}' + \text{u}'\text{v}$

$\text{u } = x^{2} \Rightarrow \text{u }' = 2x$

$\text{v } = \ln(x) \Rightarrow \text{v }' = \frac{1}{x}$

$y' = x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 2x \cdot \ln(x) = \frac{x^{2}}{x} + 2x\ln(x) =$ $\boxed{x + 2x\ln(x)}$

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b) $y = \frac{2x}{x^{2}} + 1 = \frac{2}{x} + 1 = 2x^{-1} + 1$

 

Esta derivada envolve a soma de duas funções, portanto, aplicaremos:

$(\text{u} + \text{v})' = \text{u}' + \text{v}'$

 

$\text{u } = 2x^{-1} \Rightarrow \text{u }' = -2x^{-2}$

$\text{v } = 1 \Rightarrow \text{v }' = 0$

 

$y' = -2x^{-2} = \boxed{-\frac{2}{x^{2}}}$

---

c) $f(x) = 2x(x^{2} + 3x) = 2x^{3} + 6x^{2}$

 

$f'(x) = \boxed{6x^{2} + 12x}$

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d) $f(x) = (3x - 2x^{2})(5 + 4x) =$ $15x + 12x^{2} - 10x^{2} -8x^{3}$ $= 15x + 2x^{2} - 8x^{3}$

 

Esta derivada envolve, além da soma, a diferença entre duas funções, portanto, aplicaremos:

$(\text{u} - \text{v})' = \text{u}' - \text{v}'$

 

 $f'(x) = \boxed{15 + 4x - 24x^{2}}$

Neste artigo calculamos mais algumas derivadas através da aplicação de Regras de Derivação. Em específico, vimos como calcular derivadas envolvendo operações entre funções. No próximo artigo, aprenderemos a calcular mais algumas derivadas envolvendo operações.

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• Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas 

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Exercícios sobre o cálculo de derivadas envolvendo operações (1/2). Publicado em: 19 fev. 2022. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2022/02/exercicios-sobre-o-calculo-de-derivadas-operacoes-1-2.html. Acesso em: 7 abr. 2025.