Regras de Derivação

No artigo Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição vimos como calcular uma derivada utilizando sua definição formal. Neste artigo veremos como simplificar esta operação de cálculo utilizando as regras de derivação.

 

Índice

1. Função constante
2. Função do 1º grau e funções simples
3. Função potência
4. Função exponencial
   1. Função exponencial natural
5. Função logarítmica
   1. Função logarítmica neperiana
6. Função seno
7. Função cosseno
8. Função tangente
9. Operações de derivação
   1. Operação de produto de uma constante por uma função
   2. Operação de soma
   3. Operação de subtração
   4. Operação de multiplicação
   5. Operação de divisão
10. Regra da cadeia
11. Tabela resumida (principais regras)

Função Constante

Função:

$$f(x) = c$$

Regra:

$$f'(x) = 0$$

Exemplo:

$$f(x) = 5 \Rightarrow f'(x) = 0$$

 

Função do 1º Grau e Funções Simples

Função:

$$f(x) = ax + b$$

Regra:

$$f'(x) = a$$

Exemplo:

$$f(x) = 2x + 30 \Rightarrow f'(x) = 2$$

 

---

 

Função:

$$f(x) = x$$

Regra:

$$f'(x) = 1$$

Exemplo:

$$f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1$$

 

---

 

Função:

$$f(x) = cx$$

Regra:

$$f'(x) = c$$

Exemplo:

$$f(x) = 5x \Rightarrow f'(x) = 5$$

 

Função Potência

Função:

$$f(x) = x^{n}$$

Regra:

$$f'(x) = n x^{(n - 1)}$$

Exemplo:

$$f(x) = x^{3} \Rightarrow f'(x) = 3 x^{2}$$

 

Função Exponencial

Função:

$$f(x) = a^{x}$$

Regra:

$$f'(x) = a^x \ln(a)$$

Exemplo:

$$f(x) = 2^{x} \Rightarrow f'(x) = 2^x \ln(2)$$

 

Função Exponencial Natural

Função:

$$f(x) = e^{x}$$

Regra:

$$f'(x) = e^x$$

Exemplo:

$$f(x) = e^{x} \Rightarrow f'(x) = e^x$$

Função Logarítmica

Função:

$$f(x) = \log_a(x)$$

Regra:

$$f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$$

ou

$$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_{a}(e)$$

Exemplo:

$$f(x) = \log_{10}(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x \ln(10)}$$

ou

$$f(x) = \log_{10}(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_{10}(e)$$

 

Função Logarítmica Neperiana

Função:

$$f(x) = \ln(x)$$

Regra:

$$f'(x) = \frac{1}{x}$$ 

Exemplo:

$$f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$$

Função Seno

Função:

$$f(x) = \sin(x)$$

Regra:

$$f'(x) = \cos(x)$$ 

Exemplo:

$$f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x)$$

 

Função Cosseno

Função:

$$f(x) = \cos(x)$$

Regra:

$$f'(x) = -\sin(x)$$ 

Exemplo:

$$f(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(x)$$

Função Tangente

Função:

$$f(x) = \tan(x)$$

Regra:

$$f'(x) = \sec^{2}(x)$$ 

Exemplo:

$$f(x) = \tan(x) \Rightarrow f'(x) = \sec^{2}(x)$$

 

Operações de Derivação

Sejam $$f(x) = \text{u}$$ e $$g(x) = \text{v}$$

 

Operação de Produto de uma Constante por uma Função

$$(k\text{u})' = k \cdot \text{u}'$$

 

Operação de Soma

$$(\text{u} + \text{v})' = \text{u}' + \text{v}'$$

Operação de Subtração

$$(\text{u} - \text{v})' = \text{u}' - \text{v}'$$

Operação de Multiplicação

$$(\text{u} \cdot \text{v})' = \text{uv}' + \text{u}'\text{v}$$

Operação de Divisão

$$\left(\frac{\text{u}}{\text{v}}\right)' = \frac{\text{u}'\text{v} - \text{u}\text{v'}}{\text{v}^{2}}$$

Regra da Cadeia

Seja $$h = g(f(x))$$

$$h' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$$

Tabela Resumida (principais regras)

Função	Derivada
Simples e de 1º Grau
$$f(x) = c$$	$$f'(x) = 0$$
$$f(x) = x$$	$$f'(x) = 1$$
$$f(x) = ax + b$$	$$f'(x) = a$$
$$f(x) = cx$$	$$f'(x) = c$$
$$f(x) = c\text{u}$$	$$f'(x) = c\text{u}'$$
Potência
$$f(x) = x^{n}$$	$$f'(x) = nx^{(n - 1)}$$
$$f(x) = u^n, n \neq 0$$	$$f'(x) = nu^{(n - 1)} \cdot u'$$
Exponencial
$$f(x) = a^{x}$$	$$f'(x) = a^{x}\ln{(a)}$$
$$f(x) = a^u, a > 1$$	$$f'(x) = a^u \cdot \ln(a) \cdot u'$$
$$f(x) = e^{x}$$	$$f'(x) = e^{x}$$
$$f(x) = e^u$$	$$f'(x) = e^u \cdot u'$$
$$f(x) = \text{u}^\text{v}$$	$$f'(x) = \text{vu}^{(\text{v} - 1)} \cdot \text{u}' + \text{u}^{\text{v}} \cdot \ln(\text{u}) \cdot \text{v}'$$
Logarítmica
$$f(x) = \log_{a}(x)$$	$$f'(x) = \frac{1}{x\ln{(a)}}$$ $$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_{a}(e)$$
$$f(x) = \ln(x)$$	$$f'(x) = \frac{1}{x}$$
$$f(x) = \log_a(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{u} \cdot \log_{a}(e)$$
$$f(x) = \ln(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{u}$$
Adição/Soma
$$f(x) = \text{u} + \text{v}$$	$$f'(x) = \text{u}' + \text{v}'$$
Subtração/Diferença
$$f(x) = \text{u} - \text{v}$$	$$f'(x) = \text{u}' - \text{v}'$$
Multiplicação/Produto
$$f(x) = \text{u} \cdot \text{v}$$	$$f'(x) = \text{uv}' + \text{u}' \text{v}$$
Divisão/Razão/Fração
$$f(x) = \frac{\text{u}}{\text{v}}$$	$$f'(x) = \frac{\text{u}'\text{v} - \text{u}\text{v}'}{\text{v}^{2}}$$
Composta
$$y = f(g(x))$$	$$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
Trigonométrica elementar
$$f(x) = \sin(u)$$	$$f'(x) = \cos(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \cos(u)$$	$$f'(x) = -\sin(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \tan(u)$$	$$f'(x) = \sec^{2}(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \sec(u)$$	$$f'(x) = \sec(u) \cdot \tan(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \text{cosec}(u)$$	$$f'(x) = -\text{cosec}(u) \cdot \cot(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \cot(u)$$	$$f'(x) = \text{cosec}^{2}(u) \cdot u'$$
Trigonométrica inversa (arco)
$$f(x) = \arcsin(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$
$$f(x) = \arccos(u)$$	$$f'(x) = \frac{-u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$
$$f(x) = \arctan(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{1 + u^{2}}$$
$$f(x) = \text{arcsec}(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{|u|\sqrt{u^{2} - 1}}$$
$$f(x) = \text{arccosec}(u)$$	$$f'(x) = \frac{-u'}{|u|\sqrt{u^{2} - 1}}$$
$$f(x) = \text{arccot}(u)$$	$$f'(x) = \frac{-u'}{1 + u^{2}}$$
Trigonométrica hiperbólica
$$f(x) = \sinh(u)$$	$$f'(x) = \cosh(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \cosh(u)$$	$$f'(x) = \sinh(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \tanh(u)$$	$$f'(x) = \text{sech}^{2}(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \text{sech}(u)$$	$$f'(x) = -\text{sech}(u) \cdot \tanh(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \text{cosech}(u)$$	$$f'(x) = \text{cosech}(u) \cdot \coth(u) \cdot u'$$
$$f(x) = \text{coth}(u)$$	$$f'(x) = -\text{cosech}^{2}(u) \cdot u'$$
Trigonométrica inversa hiperbólica
$$f(x) = \text{arcsinh}(u)$$	$$f'(x) = \frac{u'}{\sqrt{u^{2} + 1}}$$
$$f(x) = \text{arccosh}(u), u > 1$$	$$f'(x) = \frac{u'}{\sqrt{u^{2} - 1}}$$
$$f(x) = \text{arctanh}(u), |u| < 1$$	$$f'(x) = \frac{u'}{1 - u^{2}}$$
$$f(x) = \text{arcsech}(u), 0 < u < 1$$	$$f'(x) = \frac{-u'}{u\sqrt{1 - u^{2}}}$$
$$f(x) = \text{arccosech}(u), u \neq 0$$	$$f'(x) = \frac{-u'}{|u|\sqrt{1 + u^{2}}}$$
$$f(x) = \text{arccoth}(u), |u| > 1$$	$$f'(x) = \frac{u'}{1 - u^{2}}$$

 

Legenda:

a, c, b, n, k: constantes
x: variável
f(x), g(x), y, u, v: funções
sin: seno
cos: cosseno
tan: tangente
sec: secante
cosec: cossecante
cot: cotangente
arc: arco
h: hiperbólica(o)

 

Neste artigo visualizamos as principais regras de derivação que nortearão nosso estudo dentro do Cálculo. No próximo artigo aplicaremos algumas destas regras para resolver derivadas sem a necessidade de recorrer à fórmula da definição de derivada.

• Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela regra (1/3)  (próximo)
  
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas 
  

 

Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.

STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p. 

 

WIKIBOOKS. Calculus/Tables of Derivatives. Disponível em <https://en.wikibooks.org/w/index.php?title=Calculus/Tables_of_Derivatives&oldid=3800143>.  Acesso em 10 jan. 2022.

Para citar esse artigo: