Agora que já vimos as propriedades e relações entre conjuntos e seus elementos, nos artigos de Introdução aos Conjuntos e Subconjuntos, veremos as operações entre conjuntos.
Índice
Interseção (ou Intersecção)
A interseção é o encontro, o cruzamento entre dois ou mais conjuntos. Exemplo: dados os conjuntos abaixo $$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$ e $$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$$, a interseção de A e B será expressada em $$A \cap B$$.
$$A \cap B$$ (lê-se: A inter B)
$$A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\}$$ = $$\{1, 3, 5\}$$
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| Interseção de A e B |
Podemos descrever matematicamente a interseção entre A e B como:
$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}$$
Se $$B \subset A$$ então $$A \cap B = B$$. Veja na imagem abaixo:
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| B está contido em A A inter B = B |
Se $$A \cap B = \varnothing$$, então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
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| A inter B = Ø |
Na lógica proposicional, a interseção é representada pelo conectivo lógico "e" ou "∧". A operação é chamada de conjunção em lógica proposicional.
Propriedades da Interseção
$$A \cap \varnothing = \varnothing, \forall A$$A inter vazio é igual ao vazio, para qualquer que seja A.
$$A \cap B = B \cap A, \forall A, \forall B$$
Propriedade comutativa. A inter B = B inter A, para qualquer seja A e B.
$$(A \cap B) \cap C$$ $$=$$ $$A \cap (B \cap C), \forall A, \forall B, \forall C$$
Propriedade associativa. Não importa a ordem da interseção entre A, B e C para qualquer que seja A, B e C.
União (ou Reunião)
A união de conjuntos é o que o próprio nome sugere, que envolve pelo menos a reunião de dois ou mais conjuntos resultando em um conjunto com elementos que pertençam a pelo menos um deles. Exemplo:
$$A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ e } x < 5\}$$, $$A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$$$B = \{x \mid x \text{ é primo e } x < 10\}$$, $$B = \{2, 3, 5, 7\}$$
$$A \cup B$$ (lê-se: A união B)
$$A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 3, 5, 7\}$$ $$=$$ $$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7\}$$
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| União de A e B |
Isso pode ser expresso matematicamente por:
$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$$
Se $$B \subset A$$ então $$A \cup B = A$$. Olhe o exemplo no Diagrama de Venn abaixo:
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| A contém B A união B = A |
Na lógica proposicional, a união é representada pelo conectivo lógico "∨" ou "ou". A operação é chamada de disjunção em lógica proposicional.
Propriedades da União
$$A \cup \varnothing = A, \forall A$$A união vazio é igual a A, para qualquer que seja A.
$$A \cup A = A, \forall A$$
A união A é igual ao próprio A, para qualquer que seja A.
$$\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$$
Vazio união vazio é igual ao próprio vazio (semelhante a propriedade anterior, que se aplica a este caso).
$$A \cup B = B \cup A, \forall A, \forall B$$
Comutativa. A união B é igual a B união A, para qualquer que seja A e B.
$$(A \cup B) \cup C$$ = $$A \cup (B \cup C), \forall A, \forall B, \forall C$$
Associativa. Não importa a ordem da união entre A, B e C para qualquer que seja A, B e C.
Diferença entre Conjuntos
A diferença entre conjuntos é a operação em que supondo a existência de um conjunto A e B, a diferença entre eles resulte em um conjunto com elementos de A que não pertencem a B. Exemplo:
$$A = \{-5, -3, -1, 1, 3, 5\}$$$$B = \{-7, 2, 3, 5\}$$
$$A - B = \{-5, -3, -1, 1\}$$
Matematicamente falando: $$A - B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$$
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| Conjunto diferença de A - B |
Se $$A$$ e $$B$$ são disjuntos, então $$A - B = A$$.
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| Diferença entre conjuntos disjuntos |
Na lógica proposicional, a diferença é equivalente a negação de uma proposição, que é representada por "~" ou "¬" ou "não".
Propriedades da Diferença
$$A \cap B = \varnothing \Rightarrow A - B = A, \forall A, \forall B$$
Se A inter B resulta em vazio, então isso implica em A - B igual ao próprio A para qualquer que seja A e B.
$$B \subset A \Rightarrow B - A = \varnothing, \forall A, \forall B$$
Se B for subconjunto de A, então B - A é igual ao vazio, para qualquer que seja A e B.
$$A \not= B \Rightarrow A - B \not= B - A, \forall A, \forall B$$
Se A é diferente de B, então isso implica em que A - B é diferente de B - A, para qualquer que seja A e B.
$$A = B \Rightarrow A - B = B - A$$ $$=$$ $$\varnothing, \forall A, \forall B$$
Se A e B são iguais, a diferença entre eles, independente da ordem, resulta em um conjunto sem elementos. Ou seja, um conjunto vazio, para qualquer que seja A e B.
Complementar de um Conjunto
Se $$A \supset B$$ então $$A - B = \complement_{A}^{B}$$ (lê-se: complementar de B em A). Exemplo:$$A = \{-5, 5, 10, 15, 20\}$$
$$B = \{-5, 5\}$$
$$\complement_{A}^{B} = \{10, 15, 20\}$$
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| Complementar de B em A |
Ou seja, é a parte que complementa B.
$$\complement_{A}^{B} = A - B$$ em que $$B \subset A$$.
Complementar no Conjunto Universo
Se $$A \subset U$$ então $$\complement_{U}^{A} = \overline{A}$$ (lê-se: A barra). |
| Complementar de A em U |
$$\complement_{U}^{A} = \overline{A} = U - A$$ quando $$A \subset U$$. Também pode ser chamado de $$A'$$ (lê-se: A linha).
$$A = \{-2, -1, 3, 8\}$$
$$U = \{-2, -1, 1, 3, 5, 8, 9, 45\}$$
Independentemente da forma de representação, o resultado é o mesmo:
$$U - A = \{1, 5, 9, 45\}$$
$$\complement_{U}^{A} = \{1, 5, 9, 45\}$$
$$\overline {A} = \{1, 5, 9, 45\}$$
$$A' = \{1, 5, 9, 45\}$$
Obs.: $$\complement_{A} B = \complement_{A}^{B}$$. Cada livro adota uma forma de fazer essa representação, mas seu significado é o mesmo também.
No artigo final desse assunto, veremos o número de elementos da união de um conjunto.
Considerações Finais
Este artigo teve como objetivo explicar as operações que se podem realizar com conjuntos. Nele você aprendeu:
- Interseção.
- Propriedades da interseção.
- União.
- Propriedades da união.
- Diferença entre conjuntos.
- Propriedades da diferença entre conjuntos.
- Complementar de um conjunto.
- Complementar no conjunto universo.
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
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