Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (Parte 1/2)

Agora que já vimos as propriedades e relações entre conjuntos e seus elementos, nos artigos de Introdução aos Conjuntos e Subconjuntos, veremos as operações entre conjuntos.

Índice

1. Interseção (ou Intersecção)
   1. Propriedades da Interseção
2. União (ou Reunião)
   1. Propriedades da União
3. Diferença entre Conjuntos
   1. Propriedades da Diferença
   2. Complementar de um Conjunto
   3. Complementar no Conjunto Universo
4. Considerações Finais

Interseção (ou Intersecção)

A interseção é o encontro, o cruzamento entre dois ou mais conjuntos. Exemplo: dados os conjuntos abaixo $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, a interseção de A e B será expressada em $A \cap B$.

$A \cap B$ (lê-se: A inter B)
$A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\}$ = $\{1, 3, 5\}$

Interseção de A e B

Podemos descrever matematicamente a interseção entre A e B como:
$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}$

Se $B \subset A$ então $A \cap B = B$. Veja na imagem abaixo:

B está contido em A
A inter B = B

Se $A \cap B = \varnothing$, então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

A inter B = Ø

Na lógica proposicional, a interseção é representada pelo conectivo lógico "e" ou "∧". A operação é chamada de conjunção em lógica proposicional.

Propriedades da Interseção

$A \cap \varnothing = \varnothing, \forall A$
A inter vazio é igual ao vazio, para qualquer que seja A.

$A \cap B = B \cap A, \forall A, \forall B$
Propriedade comutativa. A inter B = B inter A, para qualquer seja A e B.

$(A \cap B) \cap C$ $=$ $A \cap (B \cap C), \forall A, \forall B, \forall C$

Propriedade associativa. Não importa a ordem da interseção entre A, B e C para qualquer que seja A, B e C.

União (ou Reunião)

A união de conjuntos é o que o próprio nome sugere, que envolve pelo menos a reunião de dois ou mais conjuntos resultando em um conjunto com elementos que pertençam a pelo menos um deles. Exemplo:

$A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ e } x < 5\}$, $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$
$B = \{x \mid x \text{ é primo e } x < 10\}$, $B = \{2, 3, 5, 7\}$

$A \cup B$ (lê-se: A união B)
$A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 3, 5, 7\}$ $=$ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7\}$

União de A e B

Isso pode ser expresso matematicamente por:
$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$

Se $B \subset A$ então $A \cup B = A$. Olhe o exemplo no Diagrama de Venn abaixo:

A contém B
A união B = A

Na lógica proposicional, a união é representada pelo conectivo lógico "∨" ou "ou". A operação é chamada de disjunção em lógica proposicional.

Propriedades da União

$A \cup \varnothing = A, \forall A$
A união vazio é igual a A, para qualquer que seja A.

$A \cup A = A, \forall A$
A união A é igual ao próprio A, para qualquer que seja A.

$\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$
Vazio união vazio é igual ao próprio vazio (semelhante a propriedade anterior, que se aplica a este caso).

$A \cup B = B \cup A, \forall A, \forall B$
Comutativa. A união B é igual a B união A, para qualquer que seja A e B.

$(A \cup B) \cup C$ = $A \cup (B \cup C), \forall A, \forall B, \forall C$
Associativa. Não importa a ordem da união entre A, B e C para qualquer que seja A, B e C.

Diferença entre Conjuntos

A diferença entre conjuntos é a operação em que supondo a existência de um conjunto A e B, a diferença entre eles resulte em um conjunto com elementos de A que não pertencem a B. Exemplo:

$A = \{-5, -3, -1, 1, 3, 5\}$
$B = \{-7, 2, 3, 5\}$

$A - B = \{-5, -3, -1, 1\}$
Matematicamente falando: $A - B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$

Conjunto diferença de A - B

Se $A$ e $B$ são disjuntos, então $A - B = A$.

Diferença entre conjuntos disjuntos

Na lógica proposicional, a diferença é equivalente a negação de uma proposição, que é representada por "~" ou "¬" ou "não".

Propriedades da Diferença

$A \cap B = \varnothing \Rightarrow A - B = A, \forall A, \forall B$

Se A inter B resulta em vazio, então isso implica em A - B igual ao próprio A para qualquer que seja A e B.

$B \subset A \Rightarrow B - A = \varnothing, \forall A, \forall B$

Se B for subconjunto de A, então B - A é igual ao vazio, para qualquer que seja A e B.

$A \not= B \Rightarrow A - B \not= B - A, \forall A, \forall B$

Se A é diferente de B, então isso implica em que A - B é diferente de B - A, para qualquer que seja A e B.

$A = B \Rightarrow A - B = B - A$ $=$ $\varnothing, \forall A, \forall B$

Se A e B são iguais, a diferença entre eles, independente da ordem, resulta em um conjunto sem elementos. Ou seja, um conjunto vazio, para qualquer que seja A e B.

Complementar de um Conjunto

Se $A \supset B$ então $A - B = \complement_{A}^{B}$ (lê-se: complementar de B em A). Exemplo:
$A = \{-5, 5, 10, 15, 20\}$
$B = \{-5, 5\}$
$\complement_{A}^{B} = \{10, 15, 20\}$

Complementar de B em A

Ou seja, é a parte que complementa B.

$\complement_{A}^{B} = A - B$ em que $B \subset A$.

Complementar no Conjunto Universo

Se $A \subset U$ então $\complement_{U}^{A} = \overline{A}$ (lê-se: A barra).

Complementar de A em U

$\complement_{U}^{A} = \overline{A} = U - A$ quando $A \subset U$. Também pode ser chamado de $A'$ (lê-se: A linha).
$A = \{-2, -1, 3, 8\}$
$U = \{-2, -1, 1, 3, 5, 8, 9, 45\}$

Independentemente da forma de representação, o resultado é o mesmo:
$U - A = \{1, 5, 9, 45\}$
$\complement_{U}^{A} = \{1, 5, 9, 45\}$
$\overline {A} = \{1, 5, 9, 45\}$
$A' = \{1, 5, 9, 45\}$

Obs.: $\complement_{A} B = \complement_{A}^{B}$. Cada livro adota uma forma de fazer essa representação, mas seu significado é o mesmo também.

No artigo final desse assunto, veremos o número de elementos da união de um conjunto.

Considerações Finais

Este artigo teve como objetivo explicar as operações que se podem realizar com conjuntos. Nele você aprendeu:

• Interseção.
• Propriedades da interseção.
• União.
• Propriedades da união.
• Diferença entre conjuntos.
• Propriedades da diferença entre conjuntos.
• Complementar de um conjunto.
• Complementar no conjunto universo.

Artigos

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Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (Parte 1/2). Publicado em: 8 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-operacoes-1-2.html. Acesso em: 3 abr. 2025.