Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos

No artigo anterior em Teoria dos Conjuntos - Introdução vimos que é possível um conjunto estar contido dentro de outro conjunto. E essa relação é análoga ao nosso mundo real. Neste artigo veremos o que são subconjuntos e suas propriedades, bem como as operações que são estabelecidas entre eles.

Índice
  1. Relação de Inclusão
    1. Exemplo Matemático
    1. Entendendo os Subconjuntos
  2. O Conjunto Vazio
    1. Por que o Conjunto Vazio é Subconjunto de Qualquer Conjunto?
  3. Todo Conjunto é Subconjunto Si Mesmo
  4. O Conjunto das Partes de um Conjunto
  5. Considerações Finais


Relação de Inclusão

Suponhamos um conjunto chamado mamíferos, por exemplo. E o conjunto dos mamíferos está contido dentro do conjunto animais.

Conjunto e Subconjunto
Diagrama de Venn

Podemos falar que o conjunto mamíferos está contido no conjunto animais. Ou que o conjunto animais contém o conjunto mamíferos.

A relação de inclusão é estabelecida somente entre conjuntos. No entanto, a relação de pertinência é estabelecida entre conjuntos e elementos.

Relação de Inclusão
Diagrama de Venn
Relação de Inclusão

O conjunto mamíferos está contido no conjunto animais.
MamíferosAnimais

O conjunto animais contém o conjunto mamíferos.
AnimaisMamíferos

Da mesma maneira, podemos afirmar que um conjunto não contém um outro conjunto.

O conjunto fungos não está contido no conjunto mamíferos.
FungosMamíferos

O conjunto mamíferos não contém o conjunto fungos.
 MamíferosFungos

Exemplo Matemático

Seja o conjunto A dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 5.
A={1,3}

E seja o conjunto B dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 10.
B={1,3,5,7,9}

Podemos dizer que AB{xAxB}.

Conjunto A contido em B
Simbologia: o símbolo "⇔" significa equivalência e o símbolo "⇒" significa implica.

Entendendo os Subconjuntos

Um subconjunto, nada mais é do que um conjunto formado a partir de um conjunto original. Podemos criar o conjunto C={q,u,a,d,r,o} e, a partir dele, criarmos um subconjunto D={r,o,d,a}. Podemos fazer as seguintes afirmações:

ProposiçãoEquivalênciaValor
D C{r,o,d,a} {q,u,a,d,r,o}Verdadeiro
C D{q,u,a,d,r,o} {r,o,d,a}Verdadeiro
D C{r,o,d,a} {q,u,a,d,r,o}Falso
C D{q,u,a,d,r,o} {r,o,d,a}Falso
C D{q,u,a,d,r,o} {r,o,d,a}Verdadeiro
D C{r,o,d,a} {q,u,a,d,r,o}Verdadeiro
D C{r,o,d,a} {q,u,a,d,r,o}Falso
C D{q,u,a,d,r,o} {r,o,d,a}Falso

Neste exemplos vimo o caso de D={r,o,d,a} em que r, o, d e a são elementos do conjunto D. E D é subconjunto do conjunto C.

O Conjunto Vazio

Todo conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
AA

Para qualquer que seja o conjunto A, o conjunto vazio está contido nele. Mas tome cuidado e preste atenção nos seguintes casos:

{1,2,3}
Afirmação falsa. Pois o conjunto vazio estar contido em todos os conjuntos não implica que ele seja elemento de todos os conjuntos.

{,1,2,3}
Afirmação verdadeira. Nesse conjunto, o conjunto vazio é elemento.

{1,2,3}
Afirmação verdadeira. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, como já vimos.

{,1,2,3}
Afirmação verdadeira também. Embora há o conjunto vazio como elemento, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Por que o Conjunto Vazio é Subconjunto de Qualquer Conjunto?

Para provar a afirmação de que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, seria preciso pegar todas as ocorrências de inclusão e garanti-las que são verdadeiras. Mas para negar matematicamente algo, basta que uma ocorrência que seja falsa. Portanto, escolheremos o segundo caminho, que é mais simples (também conhecido como prova por contradição ou redução ao absurdo).

Partindo desse pensamento, suponha o Conjunto A={1,2,3,5,8}, e o conjunto vazio ={}.
  • Suposição 1: o conjunto vazio não está contido em A, logo, todos os elementos do são diferentes dos elementos de A (são disjuntos) e a interseção resulta em um conjunto vazio. Isso é uma contradição, e um absurdo, porque indica que o resultado da interseção (A=) é em comum a ambos os conjuntos, e um deles é o próprio vazio. Ou, isso é uma contradição porque não há como dizer que todos os elementos do vazio são diferentes dos elementos de A, já que o vazio não contém elementos.
  • Suposição 2: o conjunto vazio não está contido em A, logo, existe ao menos um ou alguns elementos diferentes dos elementos de A. Isso é uma contradição porque o vazio não possui elementos.

Conclusão: o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.

Todo Conjunto é Subconjunto Si Mesmo

Todo conjunto está contido em si mesmo. Matematicamente, pode ser representado dessa forma:
AAA

O símbolo significa "para qualquer que seja" ou "para todos".

O Conjunto das Partes de um Conjunto

Supondo o conjunto A={1,2,3}, o conjunto P(A) (lê-se: P de A) possui os seguintes elementos que são subconjuntos de A:
  • o conjunto vazio;
  • os conjuntos unitários {1},{2} e {3};
  • os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
  • o conjunto com três elementos (ele próprio) {1, 2, 3}.
O conjunto das partes de A, é formado por oito subconjuntos de A.
P(A)={, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Pode ser representado em uma potência de base 2, sendo P(A)=23 elementos, segundo o número de subconjuntos contidos em A. Se o conjunto B tem x elementos, então P(B)=2x.

Cuidado: O conjunto vazio e os outros conjuntos, como o conjunto {1,2} por exemplo, são elementos do conjunto P(A). É correto afirmar que {1,2}P(A) mas é incorreto afirmar que {1,2}P(A). Pois estamos falando dos elementos de P(A) e não dos subconjuntos de A.

Note que:
xP(A)xA

Outro Exemplo:
C={x,y}
P(C) = {,{x},{y},{x,y}} ou P(C) = {,{x},{y},C}
Como C possui dois elementos, P(C) possui 22 elementos, que são subconjuntos de C.

No próximo artigo veremos as operações que podem ser realizadas com conjuntos.

Considerações Finais

Neste artigo você aprendeu a relação estabelecida entre conjuntos e seus elementos, e que o elemento de um conjunto pode ser outro conjunto. Especificamente, você aprendeu:
  • O que é um subconjunto.
  • Relação de inclusão.
  • O porquê do conjunto vazio ser subconjunto de qualquer conjunto.
  • Que todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
  • O conjunto das partes de um conjunto.

Artigos

Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.


Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos. Publicado em: 6 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-subconjuntos.html. Acesso em: 3 abr. 2025.

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