No artigo anterior em Teoria dos Conjuntos - Introdução vimos que é possível um conjunto estar contido dentro de outro conjunto. E essa relação é análoga ao nosso mundo real. Neste artigo veremos o que são subconjuntos e suas propriedades, bem como as operações que são estabelecidas entre eles.
Índice
Relação de Inclusão
Suponhamos um conjunto chamado mamíferos, por exemplo. E o conjunto dos mamíferos está contido dentro do conjunto animais.
![]() |
Diagrama de Venn |
Podemos falar que o conjunto mamíferos está contido no conjunto animais. Ou que o conjunto animais contém o conjunto mamíferos.
A relação de inclusão é estabelecida somente entre conjuntos. No entanto, a relação de pertinência é estabelecida entre conjuntos e elementos.
![]() |
Diagrama de Venn Relação de Inclusão |
O conjunto mamíferos está contido no conjunto animais.
Mamíferos⊂Animais
O conjunto animais contém o conjunto mamíferos.
Animais⊃Mamíferos
Da mesma maneira, podemos afirmar que um conjunto não contém um outro conjunto.
O conjunto fungos não está contido no conjunto mamíferos.
Fungos⊄Mamíferos
O conjunto mamíferos não contém o conjunto fungos.
Mamíferos⊅Fungos
Exemplo Matemático
Seja o conjunto A dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 5.A={1,3}
E seja o conjunto B dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 10.
B={1,3,5,7,9}
Podemos dizer que A⊂B⇔{∀x∈A⇒x∈B}.
![]() |
Conjunto A contido em B |
Simbologia: o símbolo "⇔" significa equivalência e o símbolo "⇒" significa implica.
Entendendo os Subconjuntos
Um subconjunto, nada mais é do que um conjunto formado a partir de um conjunto original. Podemos criar o conjunto C={q,u,a,d,r,o} e, a partir dele, criarmos um subconjunto D={r,o,d,a}. Podemos fazer as seguintes afirmações:
Proposição | Equivalência | Valor |
---|---|---|
D ⊂ C | {r,o,d,a} ⊂ {q,u,a,d,r,o} | Verdadeiro |
C ⊃ D | {q,u,a,d,r,o} ⊃ {r,o,d,a} | Verdadeiro |
D ⊄ C | {r,o,d,a} ⊄ {q,u,a,d,r,o} | Falso |
C ⊅ D | {q,u,a,d,r,o} ⊅ {r,o,d,a} | Falso |
C ⊄ D | {q,u,a,d,r,o} ⊄ {r,o,d,a} | Verdadeiro |
D ⊅ C | {r,o,d,a} ⊅ {q,u,a,d,r,o} | Verdadeiro |
D ⊃ C | {r,o,d,a} ⊃ {q,u,a,d,r,o} | Falso |
C ⊂ D | {q,u,a,d,r,o} ⊂ {r,o,d,a} | Falso |
Neste exemplos vimo o caso de D={r,o,d,a} em que r, o, d e a são elementos do conjunto D. E D é subconjunto do conjunto C.
O Conjunto Vazio
Todo conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.∀A⇒∅⊂A
Para qualquer que seja o conjunto A, o conjunto vazio está contido nele. Mas tome cuidado e preste atenção nos seguintes casos:
∅∈{1,2,3}
Afirmação falsa. Pois o conjunto vazio estar contido em todos os conjuntos não implica que ele seja elemento de todos os conjuntos.
∅∈{∅,1,2,3}
Afirmação verdadeira. Nesse conjunto, o conjunto vazio é elemento.
∅⊂{1,2,3}
Afirmação verdadeira. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, como já vimos.
∅⊂{∅,1,2,3}
Afirmação verdadeira também. Embora há o conjunto vazio como elemento, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Por que o Conjunto Vazio é Subconjunto de Qualquer Conjunto?
Para provar a afirmação de que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, seria preciso pegar todas as ocorrências de inclusão e garanti-las que são verdadeiras. Mas para negar matematicamente algo, basta que uma ocorrência que seja falsa. Portanto, escolheremos o segundo caminho, que é mais simples (também conhecido como prova por contradição ou redução ao absurdo).
Partindo desse pensamento, suponha o Conjunto A={1,2,3,5,8}, e o conjunto vazio ={}.
- Suposição 1: o conjunto vazio não está contido em A, logo, todos os elementos do ∅ são diferentes dos elementos de A (são disjuntos) e a interseção resulta em um conjunto vazio. Isso é uma contradição, e um absurdo, porque indica que o resultado da interseção (A∩∅=∅) é em comum a ambos os conjuntos, e um deles é o próprio vazio. Ou, isso é uma contradição porque não há como dizer que todos os elementos do vazio são diferentes dos elementos de A, já que o vazio não contém elementos.
- Suposição 2: o conjunto vazio não está contido em A, logo, existe ao menos um ou alguns elementos diferentes dos elementos de A. Isso é uma contradição porque o vazio não possui elementos.
Conclusão: o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
Todo Conjunto é Subconjunto Si Mesmo
Todo conjunto está contido em si mesmo. Matematicamente, pode ser representado dessa forma:
∀A⇒A⊂AO símbolo ∀ significa "para qualquer que seja" ou "para todos".
O Conjunto das Partes de um Conjunto
Supondo o conjunto A={1,2,3}, o conjunto P(A) (lê-se: P de A) possui os seguintes elementos que são subconjuntos de A:
- o conjunto vazio;
- os conjuntos unitários {1},{2} e {3};
- os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
- o conjunto com três elementos (ele próprio) {1, 2, 3}.
P(A)={∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Pode ser representado em uma potência de base 2, sendo P(A)=23 elementos, segundo o número de subconjuntos contidos em A. Se o conjunto B tem x elementos, então P(B)=2x.
Cuidado: O conjunto vazio e os outros conjuntos, como o conjunto {1,2} por exemplo, são elementos do conjunto P(A). É correto afirmar que {1,2}∈P(A) mas é incorreto afirmar que {1,2}⊂P(A). Pois estamos falando dos elementos de P(A) e não dos subconjuntos de A.
Note que:
∀x∈P(A)⇒x⊂A
Outro Exemplo:
C={x,y}
P(C) = {∅,{x},{y},{x,y}} ou P(C) = {∅,{x},{y},C}
Como C possui dois elementos, P(C) possui 22 elementos, que são subconjuntos de C.
No próximo artigo veremos as operações que podem ser realizadas com conjuntos.
Considerações Finais
Neste artigo você aprendeu a relação estabelecida entre conjuntos e seus elementos, e que o elemento de um conjunto pode ser outro conjunto. Especificamente, você aprendeu:
- O que é um subconjunto.
- Relação de inclusão.
- O porquê do conjunto vazio ser subconjunto de qualquer conjunto.
- Que todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
- O conjunto das partes de um conjunto.
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos. Publicado em: 6 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-subconjuntos.html. Acesso em: 3 abr. 2025.
Comentários
Postar um comentário