Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos

No artigo anterior em Teoria dos Conjuntos - Introdução vimos que é possível um conjunto estar contido dentro de outro conjunto. E essa relação é análoga ao nosso mundo real. Neste artigo veremos o que são subconjuntos e suas propriedades, bem como as operações que são estabelecidas entre eles.

Índice

1. Relação de Inclusão
   1. Exemplo Matemático
   1. Entendendo os Subconjuntos
2. O Conjunto Vazio
   1. Por que o Conjunto Vazio é Subconjunto de Qualquer Conjunto?
3. Todo Conjunto é Subconjunto Si Mesmo
4. O Conjunto das Partes de um Conjunto
5. Considerações Finais

Relação de Inclusão

Suponhamos um conjunto chamado mamíferos, por exemplo. E o conjunto dos mamíferos está contido dentro do conjunto animais.

Diagrama de Venn

Podemos falar que o conjunto mamíferos está contido no conjunto animais. Ou que o conjunto animais contém o conjunto mamíferos.

A relação de inclusão é estabelecida somente entre conjuntos. No entanto, a relação de pertinência é estabelecida entre conjuntos e elementos.

Diagrama de Venn
Relação de Inclusão

O conjunto mamíferos está contido no conjunto animais.
$\text{Mamíferos} \subset \text{Animais}$

O conjunto animais contém o conjunto mamíferos.
$\text{Animais} \supset \text{Mamíferos}$

Da mesma maneira, podemos afirmar que um conjunto não contém um outro conjunto.

O conjunto fungos não está contido no conjunto mamíferos.
$\text{Fungos} \not\subset \text{Mamíferos}$

O conjunto mamíferos não contém o conjunto fungos.
 $\text{Mamíferos} \not\supset \text{Fungos}$

Exemplo Matemático

Seja o conjunto A dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 5.
$A = \{1, 3\}$

E seja o conjunto B dos elementos x tal que x é número natural ímpar menor que 10.
$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

Podemos dizer que $A \subset B \Leftrightarrow \{\forall x \in A \Rightarrow x \in B\}$.

Conjunto A contido em B

Simbologia: o símbolo "⇔" significa equivalência e o símbolo "⇒" significa implica.

Entendendo os Subconjuntos

Um subconjunto, nada mais é do que um conjunto formado a partir de um conjunto original. Podemos criar o conjunto $C = \{q, u, a, d, r, o\}$ e, a partir dele, criarmos um subconjunto $D = \{r, o, d, a\}$. Podemos fazer as seguintes afirmações:

Proposição	Equivalência	Valor
$D$ $\subset$ $C$	$\{r, o, d, a\}$ $\subset$ $\{q, u, a, d, r, o\}$	Verdadeiro
$C$ $\supset$ $D$	$\{q, u, a, d, r, o\}$ $\supset$ $\{r, o, d, a\}$	Verdadeiro
$D$ $\not\subset$ $C$	$\{r, o, d, a\}$ $\not\subset$ $\{q, u, a, d, r, o\}$	Falso
$C$ $\not\supset$ $D$	$\{q, u, a, d, r, o\}$ $\not\supset$ $\{r, o, d, a\}$	Falso
$C$ $\not\subset$ $D$	$\{q, u, a, d, r, o\}$ $\not\subset$ $\{r, o, d, a\}$	Verdadeiro
$D$ $\not\supset$ $C$	$\{r, o, d, a\}$ $\not\supset$ $\{q, u, a, d, r, o\}$	Verdadeiro
$D$ $\supset$ $C$	$\{r, o, d, a\}$ $\supset$ $\{q, u, a, d, r, o\}$	Falso
$C$ $\subset$ $D$	$\{q, u, a, d, r, o\}$ $\subset$ $\{r, o, d, a\}$	Falso

Neste exemplos vimo o caso de $D = \{r, o, d, a\}$ em que r, o, d e a são elementos do conjunto $D$. E $D$ é subconjunto do conjunto $C$.

O Conjunto Vazio

Todo conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
$\forall A \Rightarrow \varnothing \subset A$

Para qualquer que seja o conjunto A, o conjunto vazio está contido nele. Mas tome cuidado e preste atenção nos seguintes casos:

$\varnothing \in \{1, 2, 3\}$

Afirmação falsa. Pois o conjunto vazio estar contido em todos os conjuntos não implica que ele seja elemento de todos os conjuntos.

$\varnothing \in \{\varnothing, 1, 2, 3\}$
Afirmação verdadeira. Nesse conjunto, o conjunto vazio é elemento.

$\varnothing \subset \{1, 2, 3\}$
Afirmação verdadeira. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, como já vimos.

$\varnothing \subset \{\varnothing, 1, 2, 3\}$
Afirmação verdadeira também. Embora há o conjunto vazio como elemento, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Por que o Conjunto Vazio é Subconjunto de Qualquer Conjunto?

Para provar a afirmação de que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, seria preciso pegar todas as ocorrências de inclusão e garanti-las que são verdadeiras. Mas para negar matematicamente algo, basta que uma ocorrência que seja falsa. Portanto, escolheremos o segundo caminho, que é mais simples (também conhecido como prova por contradição ou redução ao absurdo).

Partindo desse pensamento, suponha o Conjunto $A = \{1, 2, 3, 5, 8\}$, e o conjunto vazio $= \{ \}$.

• Suposição 1: o conjunto vazio não está contido em A, logo, todos os elementos do $\varnothing$ são diferentes dos elementos de $A$ (são disjuntos) e a interseção resulta em um conjunto vazio. Isso é uma contradição, e um absurdo, porque indica que o resultado da interseção ($A \cap \varnothing = \varnothing$) é em comum a ambos os conjuntos, e um deles é o próprio vazio. Ou, isso é uma contradição porque não há como dizer que todos os elementos do vazio são diferentes dos elementos de $A$, já que o vazio não contém elementos.
• Suposição 2: o conjunto vazio não está contido em A, logo, existe ao menos um ou alguns elementos diferentes dos elementos de $A$. Isso é uma contradição porque o vazio não possui elementos.

Conclusão: o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.

Todo Conjunto é Subconjunto Si Mesmo

Todo conjunto está contido em si mesmo. Matematicamente, pode ser representado dessa forma:

$\forall A \Rightarrow A \subset A$

O símbolo $\forall$ significa "para qualquer que seja" ou "para todos".

O Conjunto das Partes de um Conjunto

Supondo o conjunto $A = \{1, 2, 3\}$, o conjunto $P(A)$ (lê-se: P de A) possui os seguintes elementos que são subconjuntos de $A$:

• o conjunto vazio;
• os conjuntos unitários {1},{2} e {3};
• os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
• o conjunto com três elementos (ele próprio) {1, 2, 3}.

O conjunto das partes de A, é formado por oito subconjuntos de A.
$P(A) = \{\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, $\{1,2,3\}\}$

Pode ser representado em uma potência de base 2, sendo $P(A) = 2^{3}$ elementos, segundo o número de subconjuntos contidos em $A$. Se o conjunto B tem x elementos, então $P(B) = 2^{x}$.

Cuidado: O conjunto vazio e os outros conjuntos, como o conjunto $\{1, 2\}$ por exemplo, são elementos do conjunto $P(A)$. É correto afirmar que $\{1,2\} \in P(A)$ mas é incorreto afirmar que $\{1,2\} \subset P(A)$. Pois estamos falando dos elementos de $P(A)$ e não dos subconjuntos de $A$.

Note que:
$\forall x \in P(A) \Rightarrow x \subset A$

Outro Exemplo:
$C = \{x ,y\}$
$P(C)$ $=$ $\{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ ou $P(C)$ $=$ $\{\varnothing, \{x\}, \{y\}, C\}$
Como $C$ possui dois elementos, $P(C)$ possui $2^{2}$ elementos, que são subconjuntos de $C$.

No próximo artigo veremos as operações que podem ser realizadas com conjuntos.

Considerações Finais

Neste artigo você aprendeu a relação estabelecida entre conjuntos e seus elementos, e que o elemento de um conjunto pode ser outro conjunto. Especificamente, você aprendeu:

• O que é um subconjunto.
• Relação de inclusão.
• O porquê do conjunto vazio ser subconjunto de qualquer conjunto.
• Que todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
• O conjunto das partes de um conjunto.

Artigos

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Referência Bibliográfica

BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos. Publicado em: 6 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-subconjuntos.html. Acesso em: 5 abr. 2025.