Nos artigos anteriores você acompanhou a resolução de limites finitos. A partir deste artigo veremos a resolução de limites infinitos e com x tendendo ao infinito.
Calcule os seguintes limites:
a) $$\lim_{x \to \infty} \frac{5+x}{x^{2}}$$
b) $$\lim_{x \to \infty} 2\frac{1}{x}$$
c) $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4}{x}$$
d) $$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{4}{x}$$
Resolução
Caso já tenha resolvido, então é hora de conferir as respostas.a) $$\lim_{x \to \infty} \frac{5+x}{x^{2}}$$
Calculando o Limite com a tabela:
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 10 | 0,15 |
| 100 | 0,0105 |
| 1000 | 0,001005 |
Podemos notar que quando X tende ao infinito, a função tende 0.
$$\lim_{x \to \infty} \frac{5+x}{x^{2}} = 0$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende ao infinito, f(x) tende a zero. |
Nessa questão é preciso tomar cuidado. Trata-se de um número misto, não de uma fração 2/x. Precisamos pegar a parte inteira, multiplicar pelo denominador e somar com o numerador, mantendo o mesmo denominador anterior.
b) $$\lim_{x \to \infty} 2\frac{1}{x}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}\right)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right)$$
Calculando o Limite com a tabela:
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 10 | 2,1 |
| 100 | 2,01 |
| 1000 | 2,001 |
Podemos notar que quando X tende ao infinito, a função tende 2.
$$\lim_{x \to \infty} 2\frac{1}{x} = 2$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende ao infinito, f(x) tende a 2. |
c) $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4}{x}$$
Calculando o Limite com a tabela:
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 0,1 | 40 |
| 0,01 | 400 |
| 0,001 | 4000 |
Podemos notar que quando X tende a 0+, a função tende ao infinito.
$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4}{x} = \infty$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 0+, f(x) tende ao infinito. |
d) $$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{4}{x}$$
Calculando o Limite com a tabela:
| x | f(x) |
|---|---|
| -1 | -4 |
| -0,1 | -40 |
| -0,01 | -400 |
| -0,001 | -4000 |
Podemos notar que quando X tende a 0-, a função tende a menos infinito.
$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{4}{x} = - \infty$$
Gráfico:
|
| Quando x tende a 0-, f(x) tende a menos infinito. |
Sendo assim, podemos generalizar esses limites, expressando-os da seguinte forma:
$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{n}} = 0$$ e
$$\lim_{x \to \pm 0} \frac{1}{x^{n}} = \pm \infty$$
se $$n \in \mathbb{N}^{*}$$ e $$f:\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$$.
No próximo artigo resolveremos mais alguns desses limites.
Artigos
- Exercícios sobre Limites Infinitos e X Tendendo ao Infinito (2/2) (continuação)
- Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites
Para citar esse artigo:
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