Resolvemos alguns tipos de limites, dentro do estudo do Cálculo, que abordam muitas funções importantes. Por fim, introduziremos mais dois exercícios, um pouco mais desafiadores que os anteriores, para você praticar. Também mostraremos a resolução através de gráfico, tabela e fatoração. Não deixe ler a revisão também, no final do artigo.
a) $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x - 1}$$
b) $$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8}$$
Resolução
Se você já tentou resolver, então é hora de vermos a resolução desses limites.a) $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x - 1}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 0,9 | 1,81 | 1,1 | 2,21 |
| 0,99 | 1,9801 | 1,01 | 2,0201 |
| 0,999 | 1,9980 | 1,001 | 2,0020 |
| 0,9999 | 1,9998 | 1,0001 | 2,0002 |
Pela tabela podemos notar que quanto mais X se aproxima de 1, mais f(x) se aproxima de 2.
Resolvendo por Álgebra:
1ª forma: iremos fatorar essa equação do terceiro grau colocando termos comuns em evidência.
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x - 1}$$ = $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}(x - 1) + x - 1}{x - 1}$$ = $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}(x - 1) + 1(x - 1)}{x - 1}$$ =
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^{2} + 1)}{x - 1}$$ = $$\lim_{x \to 1} (x^{2} + 1)$$ $$ = 2$$
Repare que na terceira etapa $$(x - 1)$$ foi colocado em evidência, já que era um termo comum na equação. Se realizarmos a distributiva, voltaremos a equação original:
$$(x - 1)(x^{2} + 1)$$ $$ = $$ $$x^{3} + x - x^{2} - 1$$
2ª forma: iremos resolver por divisão de polinômios. Veja a imagem a seguir.
 |
| Divisão de Polinômio |
- Multiplicando (x - 1) por x2 obtemos x3 - x2, que subtraindo de x3 - x2 resta zero.
- Multiplicando (x - 1) por 1 obtemos x - 1, que subtraindo de x - 1 resta zero.
- Quociente: x2 + 1.
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x - 1}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 1} (x^{2} + 1) = 2$$
Você é livre para pesquisar outras formas, essas são apenas duas maneiras simples de se resolver esses limites e que se aplicam neste caso.
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 1, f(x) tende a 2 |
b) $$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8}$$
Calculando os Limites Laterais com tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 7,9 | 0,1671 | 8,1 | 0,1662 |
| 7,99 | 0,1667 | 8,01 | 0,1666 |
| 7,999 | 0,1666 | 8,001 | 0,1666 |
| 7,9999 | 0,1666 | 8,0001 | 0,1666 |
Por tabela percebemos que o número converge para uma dízima periódica. Podemos notar que quanto mais X se aproxima de 8, mais f(x) se aproxima de 0,1666...
Resolvendo por Álgebra:
Precisamos eliminar a raiz. E uma das formas de se fazer isso é elevar a raiz quadrada ao quadrado. Temos $$(a - b)$$, basta multiplicarmos por $$(a + b)$$ no numerador e no denominador para vermos no que resulta.
$$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8}$$ = $$\lim_{x \to 8} \left( \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 3}{\sqrt{x + 1} + 3} \right)$$ = $$\lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{x + 1})^{2} - 3^{2}}{(x - 8)(\sqrt{x + 1} + 3)}$$ =
$$\lim_{x \to 8} \frac{x + 1 - 9}{(x - 8)(\sqrt{x + 1} + 3)}$$ = $$\lim_{x \to 8} \frac{(x - 8)}{(x - 8)(\sqrt{x + 1} + 3)}$$ = $$\lim_{x \to 8} \frac{1}{(\sqrt{x + 1} + 3)}$$ $$ = \frac{1}{\sqrt{8 + 1} + 3} = \frac{1}{6}$$
Basicamente o que fizemos foi multiplicar pelo conjugado. Pois (a + b)/(a + b) é igual a 1, então multiplicamos nossa fração dentro do limite por 1 e não cometemos nenhuma irregularidade. Deixamos no formato (a + b)(a - b) justamente para cairmos no produto notável a2 - b2.
Gráfico:
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| Quando x tende a 8, f(x) tende a 1/6 |
Revisão sobre as Principais Formas de Fatoração
Agora faremos uma revisão dos produtos notáveis e técnicas mais utilizadas para a resolução dos limites finitos que foram apresentados.
Produtos Notáveis
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| Principais Produtos Notáveis. |
Fatoração de uma Equação do 2º Grau
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| Forma de fatoração da Equação do 2º Grau |
E com esse último artigo encerramos nossa série de postagens sobre limites finitos. Nos próximos artigos aprenderemos sobre limites infinitos.
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