Derivada é um conceito introduzido em meados do século XVII em estudos de problemas da Física ligados à pesquisa dos movimentos. Na contribuição destes estudos, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642–1727), o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1646–1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Você pode ler um pouco sobre o desenvolvimento da Física no artigo Physis: Uma Breve História da Física.
Neste artigo conheceremos a derivada e as taxas de variação com a recapitulação de um tópico já abordado aqui, no Autociência, sobre limites.
A Taxa Média de Variação (TMV)
Para entendermos derivadas, precisamos conhecer a taxa média de variação. E uma forma simples de explicar a taxa média de variação é através de um exemplo.
Suponhamos que um veículo está percorrendo um trajeto de $$122$$ metros. O veículo leva, aproximadamente, $$4$$ segundos para percorrer todo este trecho. Qual a sua velocidade média?
Uma solução é calcular a razão entre o caminho percorrido (espaço m) pelo intervalo de tempo (duração em s).
$$V_{m} = \frac{\Delta S}{\Delta t} \Rightarrow \frac{122}{4} \approx 30 \text{ m/s}$$
A velocidade média do veículo é de aproximadamente $$30$$ metros por segundo.
Isto significa que a cada 1 segundo o veículo percorre cerca de 30 metros. Se
transformarmos essa relação em uma função do 1º grau, em que o espaço
percorrido está em função do tempo, obteremos a função abaixo, ilustrada no
gráfico.
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| Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo |
Suponhamos, agora, um outro exemplo. Após $$1$$ segundo, nosso veículo passou
do trecho de $$32$$ m até o outro trecho de $$92$$ m, durante $$2$$ segundos.
Qual foi a sua velocidade média? Analise o gráfico abaixo.
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Gráfico representando o trecho percorrido em função do tempo |
Sabemos que $$\Delta S = S_{1} - S_{0}$$. E que $$\Delta t = t_{1} - t_{0}$$. Logo, nossa equação ficará assim:
$$V_{m} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{S_{1} - S_{0}}{t_{1} - t_{0}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{92 - 32}{3 - 1}$$ $$=$$ $$\frac{60}{2} = 30 \text{ m/s}$$
Este resultado nos mostra que variando $$2$$ unidade em $$\text{S}$$, a nossa função varia $$30$$ unidades em $$\text{t}$$. Esta é a Taxa Média de Variação (TMV) desta função.
Saindo um pouco da física e substituindo algumas letras pela linguagem matemática que estamos mais habituados, conseguimos enxergar o gráfico desta forma:
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Gráfico explicando a taxa média de variação |
O segmento de reta azul representa $$\Delta f$$. E o segmento de reta vermelho representa $$\Delta x$$.
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$ $$=$$ $$\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{(x_{0} + \Delta x) - x_{0}}$$ $$=$$ $$\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
Caso pareça muito abstrato, basta substituir as variáveis pelo seu respectivo valor, conforme o gráfico abaixo.
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| Gráfico explicando a taxa média de variação (com valores) |
A Taxa Instantânea de Variação
Suponhamos, neste novo exemplo, que o espaço percorrido por um veículo em função do tempo é dado pela fórmula $$s(t) = -2t^{2} + 30t$$.
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| Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo |
a) Calculando a TMV do intervalo entre 1 e 2 segundos
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| Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 1 e 2 segundos |
Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:
$$\text{TMV}$$ $$=$$ $$\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
$$\text{TMV} = \frac{f(1 + (2 - 1)) - f(1)}{2 - 1}$$ $$=$$ $$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$$ $$=$$ $$\frac{(-2 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2) - (-2 \cdot 1^{2} + 30 \cdot 1)}{1}$$ $$=$$ $$52 - 28 = 24$$
Isto significa que entre $$1$$ e $$2$$ segundos (intervalo com $$1$$ segundo
de duração) a velocidade média do veículo era de $$24 \text{ m/s}$$.
b) Calculando a TMV do intervalo entre 3 e 4 segundos
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| Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 3 e 4 segundos |
Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:
$$\text{TMV}$$ $$=$$ $$\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
$$\text{TMV} = \frac{f(3 + (4 - 3)) - f(3)}{4 - 3}$$ $$=$$ $$\frac{f(4) - f(3)}{4 - 3}$$ $$=$$ $$\frac{(-2 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 4) - (-2 \cdot 3^{2} + 30 \cdot 3)}{1}$$ $$=$$ $$88 - 72 = 16$$
Isto significa que entre $$3$$ e $$4$$ segundos (intervalo com $$1$$ segundo de duração) a velocidade média do veículo era de $$16 \text{ m/s}$$.
Não é constante a velocidade média para cada segundo (ou intervalo de segundos). Mas quanto menor for o intervalo de tempo, mais a velocidade média se aproximará da velocidade exata do veículo. Isto seria a taxa de variação instantânea em um ponto da nossa função — ou seja, calcular a TMV quando o intervalo de x ($$\Delta x$$) se aproxima de zero.
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| Gráfico para calcular a taxa instantânea de variação |
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ $$=$$ $$\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$ sendo $$\Delta x = 0$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4 + 0) - f(4)}{0}$$ $$=$$ $$\frac{f(4) - f(4)}{0}$$ $$=$$ $$\frac{88 - 88}{0}$$ $$=$$ $$\frac{0}{0} = \text{?}$$
Ao tentarmos calcular a taxa instantânea de variação diretamente, obtemos uma indeterminação. Mas podemos estudar o que acontece com a taxa instantânea de variação quando a variação de x se aproxima de zero, usando uma ferramenta que já conhecemos: o limite.
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
Substituindo na fórmula os valores da nossa função, obtemos o seguinte
limite:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[-2(x_0 +\Delta x)^{2} + 30 \cdot (x_0 + \Delta x)\right] \color{blue}{- [-2(x_0)^{2} + 30 \cdot x_0]}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[-2(x_0 +\Delta x)^{2} + 30 \cdot (x_0 + \Delta x)\right] \color{blue}{+ [2(x_0)^{2} - 30 x_0]}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2(x_0 +\Delta x)^{2} \color{red}{+ 30 x_0} + 30 \Delta x + 2x_0^{2} \color{red}{- 30 x_0}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2\color{blue}{(x_0 +\Delta x)^{2}} + 30 \Delta x + 2x_0^{2}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2\color{blue}{(x_0^{2} + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2})} + 30 \Delta x + 2x_0^{2}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\color{red}{-2 x_0^{2}} - 4 x_0 \Delta x -2 \Delta x^{2} + 30 \Delta x \color{red}{+ 2x_0^{2}}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{- 4 x_0 \color{blue}{\Delta x} -2 \color{blue}{\Delta x^{2}} + 30 \color{blue}{\Delta x}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\color{red}{\Delta x}(- 4 x_0 -2 \Delta x + 30}{\color{red}{\Delta x}}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(- 4 x_0 -2 \Delta x + 30\right)$$ $$=$$ $$([-4 \cdot 4] - [2 \cdot 0] + 30)$$ $$=$$ $$\fbox{14}$$
Isto significa que no instante $$t = 4\text{ s}$$, a velocidade instantânea do
nosso veículo era de $$ 14 \text{ m/s}$$.
A Derivada
A derivada é quando calculamos a taxa de variação instantânea em um determinado ponto de uma função (ou seja, a variação de $$x$$ é tão pequena que tende a zero).
A derivada de $$f(x)$$ no ponto $$f(x_0)$$ é indicada por $$f'(x_0)$$, $$\frac{df}{dx}(x_0)$$ ou ainda $$\frac{dy}{dx}(x_0)$$, dentre outras notações.
Uma função $$f$$ é derivável ou diferenciável em $$a$$ se $$\exists f'(a)$$. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto $$(a, b)$$ $$[$$ou $$(a, \infty)$$ ou $$(-\infty, a)$$ ou $$(-\infty, \infty)]$$ se for diferenciável em cada número do intervalo (STEWART, 2011).
A esta fórmula abaixo chamamos de definição de uma derivada.
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
As fórmulas de derivadas que estudaremos se originaram de sua definição. No tópico "Taxa Instantânea de Variação" calculamos uma derivada utilizando a sua definição. Nos próximos artigos resolveremos alguns exercícios envolvendo derivadas.
- Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição (próximo)
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Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas
Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W.
O.
Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade.
1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.
RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.
STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.
Para citar esse artigo:
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