Introdução ao Cálculo de Derivadas

Derivada é um conceito introduzido em meados do século XVII em estudos de problemas da Física ligados à pesquisa dos movimentos. Na contribuição destes estudos, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642–1727), o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1646–1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Você pode ler um pouco sobre o desenvolvimento da Física no artigo Physis: Uma Breve História da Física.

 

Neste artigo conheceremos a derivada e as taxas de variação com a recapitulação de um tópico já abordado aqui, no Autociência, sobre limites. 

Índice

1. A Taxa Média de Variação (TMV)
2. A Taxa Instantânea de Variação
3. A Derivada

 

A Taxa Média de Variação (TMV)

Para entendermos derivadas, precisamos conhecer a taxa média de variação. E uma forma simples de explicar a taxa média de variação é através de um exemplo.

 

Suponhamos que um veículo está percorrendo um trajeto de $122$ metros. O veículo leva, aproximadamente, $4$ segundos para percorrer todo este trecho. Qual a sua velocidade média?

 

Uma solução é calcular a razão entre o caminho percorrido (espaço m) pelo intervalo de tempo (duração em s).

$V_{m} = \frac{\Delta S}{\Delta t} \Rightarrow \frac{122}{4} \approx 30 \text{ m/s}$

A velocidade média do veículo é de aproximadamente $30$ metros por segundo. Isto significa que a cada 1 segundo o veículo percorre cerca de 30 metros. Se transformarmos essa relação em uma função do 1º grau, em que o espaço percorrido está em função do tempo, obteremos a função abaixo, ilustrada no gráfico.

Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo

Suponhamos, agora, um outro exemplo. Após $1$ segundo, nosso veículo passou do trecho de $32$ m até o outro trecho de $92$ m, durante $2$ segundos. Qual foi a sua velocidade média? Analise o gráfico abaixo.

Gráfico representando o trecho percorrido em função do tempo

Sabemos que $\Delta S = S_{1} - S_{0}$. E que $\Delta t = t_{1} - t_{0}$. Logo, nossa equação ficará assim: 

 

$V_{m} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{S_{1} - S_{0}}{t_{1} - t_{0}}$ $\Rightarrow$ $\frac{92 - 32}{3 - 1}$ $=$ $\frac{60}{2} = 30 \text{ m/s}$

Este resultado nos mostra que variando $2$ unidade em $\text{S}$, a nossa função varia $30$ unidades em $\text{t}$. Esta é a Taxa Média de Variação (TMV) desta função.

Saindo um pouco da física e substituindo algumas letras pela linguagem matemática que estamos mais habituados, conseguimos enxergar o gráfico desta forma:

 

Gráfico explicando a taxa média de variação

 

O segmento de reta azul representa $\Delta f$. E o segmento de reta vermelho representa $\Delta x$. 

$\frac{\Delta f}{\Delta x}$ $=$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{(x_{0} + \Delta x) - x_{0}}$ $=$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

Caso pareça muito abstrato, basta substituir as variáveis pelo seu respectivo valor, conforme o gráfico abaixo.

 

Gráfico explicando a taxa média de variação (com valores)

A razão entre $\Delta f$ e $\Delta x$ é o que nós chamamos de taxa média de variação. Note, também, que a taxa média de variação é igual ao coeficiente angular da função.

A velocidade do veículo é constante do início do trajeto até o seu fim. Percorrendo a essa velocidade constante de $30 \text{ m/s}$, a sua aceleração é nula (em outras palavras, sua velocidade não muda com o tempo). Mas o que aconteceria se a sua velocidade não fosse constante durante todo o trajeto?

A Taxa Instantânea de Variação

Suponhamos, neste novo exemplo, que o espaço percorrido por um veículo em função do tempo é dado pela fórmula $s(t) = -2t^{2} + 30t$.

Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo

Este gráfico mostra dois momentos importantes: um em que o veículo ganha velocidade (movimento acelerado) e outro momento em que o veículo começa a perder velocidade (movimento desacelerado). Calcularemos a velocidade média desse veículo em dois momentos, utilizando a fórmula anterior já vista.

a) Calculando a TMV do intervalo entre 1 e 2 segundos

 

Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 1 e 2 segundos

Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:

 

$\text{TMV}$ $=$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

$\text{TMV} = \frac{f(1 + (2 - 1)) - f(1)}{2 - 1}$ $=$ $\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ $=$ $\frac{(-2 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2) - (-2 \cdot 1^{2} + 30 \cdot 1)}{1}$ $=$ $52 - 28 = 24$

Isto significa que entre $1$ e $2$ segundos (intervalo com $1$ segundo de duração) a velocidade média do veículo era de $24 \text{ m/s}$.

b) Calculando a TMV do intervalo entre 3 e 4 segundos

 

Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 3 e 4 segundos

Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:

 

$\text{TMV}$ $=$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

$\text{TMV} = \frac{f(3 + (4 - 3)) - f(3)}{4 - 3}$ $=$ $\frac{f(4) - f(3)}{4 - 3}$ $=$ $\frac{(-2 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 4) - (-2 \cdot 3^{2} + 30 \cdot 3)}{1}$ $=$ $88 - 72 = 16$

 

Isto significa que entre $3$ e $4$ segundos (intervalo com $1$ segundo de duração) a velocidade média do veículo era de $16 \text{ m/s}$.

 

Não é constante a velocidade média para cada segundo (ou intervalo de segundos). Mas quanto menor for o intervalo de tempo, mais a velocidade média se aproximará da velocidade exata do veículo. Isto seria a taxa de variação instantânea em um ponto da nossa função — ou seja, calcular a TMV quando o intervalo de x ($\Delta x$) se aproxima de zero.

 

Gráfico para calcular a taxa instantânea de variação

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ $=$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$ sendo $\Delta x = 0$ 

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4 + 0) - f(4)}{0}$ $=$ $\frac{f(4) - f(4)}{0}$ $=$ $\frac{88 - 88}{0}$ $=$ $\frac{0}{0} = \text{?}$

Ao tentarmos calcular a taxa instantânea de variação diretamente, obtemos uma indeterminação. Mas podemos estudar o que acontece com a taxa instantânea de variação quando a variação de x se aproxima de zero, usando uma ferramenta que já conhecemos: o limite.

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

 

Substituindo na fórmula os valores da nossa função, obtemos o seguinte limite:

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[-2(x_0 +\Delta x)^{2} + 30 \cdot (x_0 + \Delta x)\right] \color{blue}{- [-2(x_0)^{2} + 30 \cdot x_0]}}{\Delta x}\right)$ $=$

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[-2(x_0 +\Delta x)^{2} + 30 \cdot (x_0 + \Delta x)\right] \color{blue}{+ [2(x_0)^{2} - 30 x_0]}}{\Delta x}\right)$ $=$

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2(x_0 +\Delta x)^{2} \color{red}{+ 30 x_0} + 30 \Delta x + 2x_0^{2} \color{red}{- 30 x_0}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2\color{blue}{(x_0 +\Delta x)^{2}} + 30 \Delta x + 2x_0^{2}}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-2\color{blue}{(x_0^{2} + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2})} + 30 \Delta x + 2x_0^{2}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\color{red}{-2 x_0^{2}} - 4 x_0 \Delta x -2 \Delta x^{2} + 30 \Delta x \color{red}{+ 2x_0^{2}}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{- 4 x_0 \color{blue}{\Delta x} -2 \color{blue}{\Delta x^{2}} + 30 \color{blue}{\Delta x}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\color{red}{\Delta x}(- 4 x_0 -2 \Delta x + 30}{\color{red}{\Delta x}}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(- 4 x_0 -2 \Delta x + 30\right)$ $=$ $([-4 \cdot 4] - [2 \cdot 0] + 30)$ $=$ $\fbox{14}$

Isto significa que no instante $t = 4\text{ s}$, a velocidade instantânea do nosso veículo era de $14 \text{ m/s}$.

 

A Derivada

A derivada é quando calculamos a taxa de variação instantânea em um determinado ponto de uma função (ou seja, a variação de $x$ é tão pequena que tende a zero).

A derivada de $f(x)$ no ponto $f(x_0)$ é indicada por $f'(x_0)$, $\frac{df}{dx}(x_0)$ ou ainda $\frac{dy}{dx}(x_0)$, dentre outras notações.

Uma função $f$ é derivável ou diferenciável em $a$ se $\exists f'(a)$. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto $(a, b)$ $[$ou $(a, \infty)$ ou $(-\infty, a)$ ou $(-\infty, \infty)]$ se for diferenciável em cada número do intervalo (STEWART, 2011).

 

A esta fórmula abaixo chamamos de definição de uma derivada.

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

 

As fórmulas de derivadas que estudaremos se originaram de sua definição. No tópico "Taxa Instantânea de Variação" calculamos uma derivada utilizando a sua definição. Nos próximos artigos resolveremos alguns exercícios envolvendo derivadas.

 

• Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição (próximo)
  
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas
  

 

Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.

STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Introdução ao Cálculo de Derivadas. Publicado em: 18 out. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/10/introducao-ao-calculo-de-derivadas.html. Acesso em: 7 abr. 2025.