Derivada é um conceito introduzido em meados do século XVII em estudos de problemas da Física ligados à pesquisa dos movimentos. Na contribuição destes estudos, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642–1727), o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1646–1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Você pode ler um pouco sobre o desenvolvimento da Física no artigo Physis: Uma Breve História da Física.
Neste artigo conheceremos a derivada e as taxas de variação com a recapitulação de um tópico já abordado aqui, no Autociência, sobre limites.
A Taxa Média de Variação (TMV)
Para entendermos derivadas, precisamos conhecer a taxa média de variação. E uma forma simples de explicar a taxa média de variação é através de um exemplo.
Suponhamos que um veículo está percorrendo um trajeto de 122 metros. O veículo leva, aproximadamente, 4 segundos para percorrer todo este trecho. Qual a sua velocidade média?
Uma solução é calcular a razão entre o caminho percorrido (espaço m) pelo intervalo de tempo (duração em s).
Vm=ΔSΔt⇒1224≈30 m/s
A velocidade média do veículo é de aproximadamente 30 metros por segundo.
Isto significa que a cada 1 segundo o veículo percorre cerca de 30 metros. Se
transformarmos essa relação em uma função do 1º grau, em que o espaço
percorrido está em função do tempo, obteremos a função abaixo, ilustrada no
gráfico.
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Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo |
Suponhamos, agora, um outro exemplo. Após 1 segundo, nosso veículo passou
do trecho de 32 m até o outro trecho de 92 m, durante 2 segundos.
Qual foi a sua velocidade média? Analise o gráfico abaixo.
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Gráfico representando o trecho percorrido em função do tempo |
Sabemos que ΔS=S1−S0. E que Δt=t1−t0. Logo, nossa equação ficará assim:
Vm=ΔSΔt=S1−S0t1−t0 ⇒ 92−323−1 = 602=30 m/s
Este resultado nos mostra que variando 2 unidade em S, a nossa função varia 30 unidades em t. Esta é a Taxa Média de Variação (TMV) desta função.
Saindo um pouco da física e substituindo algumas letras pela linguagem matemática que estamos mais habituados, conseguimos enxergar o gráfico desta forma:
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Gráfico explicando a taxa média de variação |
O segmento de reta azul representa Δf. E o segmento de reta vermelho representa Δx.
ΔfΔx = f(x0+Δx)−f(x0)(x0+Δx)−x0 = f(x0+Δx)−f(x0)Δx
Caso pareça muito abstrato, basta substituir as variáveis pelo seu respectivo valor, conforme o gráfico abaixo.
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Gráfico explicando a taxa média de variação (com valores) |
A Taxa Instantânea de Variação
Suponhamos, neste novo exemplo, que o espaço percorrido por um veículo em função do tempo é dado pela fórmula s(t)=−2t2+30t.
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Gráfico do espaço percorrido pelo veículo em função do tempo |
a) Calculando a TMV do intervalo entre 1 e 2 segundos
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Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 1 e 2 segundos |
Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:
TMV = f(x0+Δx)−f(x0)Δx
TMV=f(1+(2−1))−f(1)2−1 = f(2)−f(1)2−1 = (−2⋅22+30⋅2)−(−2⋅12+30⋅1)1 = 52−28=24
Isto significa que entre 1 e 2 segundos (intervalo com 1 segundo
de duração) a velocidade média do veículo era de 24 m/s.
b) Calculando a TMV do intervalo entre 3 e 4 segundos
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Gráfico para calcular a taxa média de variação da velocidade do veículo entre 3 e 4 segundos |
Utilizando a fórmula de TMV que conhecemos:
TMV = f(x0+Δx)−f(x0)Δx
TMV=f(3+(4−3))−f(3)4−3 = f(4)−f(3)4−3 = (−2⋅42+30⋅4)−(−2⋅32+30⋅3)1 = 88−72=16
Isto significa que entre 3 e 4 segundos (intervalo com 1 segundo de duração) a velocidade média do veículo era de 16 m/s.
Não é constante a velocidade média para cada segundo (ou intervalo de segundos). Mas quanto menor for o intervalo de tempo, mais a velocidade média se aproximará da velocidade exata do veículo. Isto seria a taxa de variação instantânea em um ponto da nossa função — ou seja, calcular a TMV quando o intervalo de x (Δx) se aproxima de zero.
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Gráfico para calcular a taxa instantânea de variação |
ΔyΔx = f(x0+Δx)−f(x0)Δx sendo Δx=0
ΔyΔx=f(4+0)−f(4)0 = f(4)−f(4)0 = 88−880 = 00=?
Ao tentarmos calcular a taxa instantânea de variação diretamente, obtemos uma indeterminação. Mas podemos estudar o que acontece com a taxa instantânea de variação quando a variação de x se aproxima de zero, usando uma ferramenta que já conhecemos: o limite.
limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
Substituindo na fórmula os valores da nossa função, obtemos o seguinte
limite:
limΔx→0([−2(x0+Δx)2+30⋅(x0+Δx)]−[−2(x0)2+30⋅x0]Δx) =
limΔx→0([−2(x0+Δx)2+30⋅(x0+Δx)]+[2(x0)2−30x0]Δx) =
limΔx→0(−2(x0+Δx)2+30x0+30Δx+2x20−30x0Δx) =
limΔx→0(−2(x0+Δx)2+30Δx+2x20Δx) =
limΔx→0(−2(x20+2x0Δx+Δx2)+30Δx+2x20Δx) =
limΔx→0(−2x20−4x0Δx−2Δx2+30Δx+2x20Δx) =
limΔx→0(−4x0Δx−2Δx2+30ΔxΔx) =
limΔx→0(Δx(−4x0−2Δx+30Δx) =
limΔx→0(−4x0−2Δx+30) = ([−4⋅4]−[2⋅0]+30) = 14
Isto significa que no instante t=4 s, a velocidade instantânea do
nosso veículo era de 14 m/s.
A Derivada
A derivada é quando calculamos a taxa de variação instantânea em um determinado ponto de uma função (ou seja, a variação de x é tão pequena que tende a zero).
A derivada de f(x) no ponto f(x0) é indicada por f′(x0), dfdx(x0) ou ainda dydx(x0), dentre outras notações.
Uma função f é derivável ou diferenciável em a se ∃f′(a). É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto (a,b) [ou (a,∞) ou (−∞,a) ou (−∞,∞)] se for diferenciável em cada número do intervalo (STEWART, 2011).
A esta fórmula abaixo chamamos de definição de uma derivada.
limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
As fórmulas de derivadas que estudaremos se originaram de sua definição. No tópico "Taxa Instantânea de Variação" calculamos uma derivada utilizando a sua definição. Nos próximos artigos resolveremos alguns exercícios envolvendo derivadas.
- Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição (próximo)
-
Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas
Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W.
O.
Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade.
1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.
RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.
STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.
Para citar esse artigo:
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