No artigo Introdução ao Cálculo de Derivadas aprendemos a calcular uma derivada utilizando a sua definição. Neste artigo, aprofundaremos um pouco mais sobre este cálculo através de exercícios.
Calcule a derivada das seguintes funções utilizando a definição de derivada.
a) $$f(x) = 2x$$ no ponto $$x_0 = 3$$
b) $$f(x) = x^{2} - 2x$$ no ponto $$x_0 = 6$$
c) $$f(x) = -5x^{2}$$ no ponto $$x_0 = 2$$
d) $$f(x) = 2 - x^{3}$$ no ponto $$x_0 = -2$$
e) $$f(x) = 2x^{3}$$
f) $$f(x) = x^{2} + x$$
Caso já tenha resolvido os exercícios, é hora de conferir a resolução. Lembrando que a fórmula da definição de derivada é:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$
Resolução
a) $$f(x) = 2x$$ no ponto $$x_0 = 3$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \cdot (3 + \Delta x) - 2
\cdot 3}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{6 + 2 \Delta x - 6}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \Delta x}{\Delta x}\right) = \fbox{2}$$
b) $$f(x) = x^{2} - 2x$$ no ponto $$x_0 = 6$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(6 + \Delta x)^{2} -
2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[6^{2} + 2 \cdot 6 \Delta x + \Delta x^{2} - 2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[36 + 12 \Delta x + \Delta x^{2} - 2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left(36 + 12 \Delta x + \Delta x^{2} - 12 - 2 \Delta x \right) - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left(24 + 10 \Delta x + \Delta x^{2} \right) - (36 - 12)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{24 + 10 \Delta x + \Delta x^{2} - 24}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{10 \Delta x + \Delta x^{2}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (10 + \Delta x)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} (10 + \Delta x)$$ $$= \fbox{10}$$
c) $$f(x) = -5x^{2}$$ no ponto $$x_0 = 2$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (2 + \Delta x)^{2} - (-5 \cdot 2^{2})}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (2^{2} + 2 \cdot 2 \Delta x + \Delta x^{2}) - (-5 \cdot 4)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (4 + 4 \Delta x + \Delta x^{2}) - (-20)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-20 -20 \Delta x - 5 \Delta x^{2} + 20}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-20 \Delta x - 5 \Delta x^{2}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (-20 - 5 \Delta x)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} (-20 - 5 \Delta x)$$ $$=$$ $$\fbox{-20}$$
d) $$f(x) = 2 - x^{3}$$ no ponto $$x_0 = -2$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-2 + \Delta x)^{3}\right] - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-2 + \Delta x)^{3}\right] - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left\{2 - \left[-2^{3} + 3 \cdot (-2)^{2} \Delta x + 3 \cdot (-2) \Delta x^{2} + \Delta x^{3}\right]\right\} - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-8 -12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3})\right] - \left[2 - (-8)\right]}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{10 -12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3} - 10 }{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (-12 - 6 \Delta x + \Delta x^{2})}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(-12 - 6 \Delta x + \Delta x^{2}\right)$$ $$=$$
$$\fbox{-12}$$
e) $$f(x) = 2x^{3}$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 (x_{0} + \Delta x)^{3} - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \left[(x_{0})^{3} + 3 (x_0)^{2} \Delta x + 3 x_0 \Delta x^{2} + \Delta x^{3}\right] - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2(x_{0})^{3} + 6 (x_0)^{2} \Delta x + 6 x_0 \Delta x^{2} + 2 \Delta x^{3} - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{6 (x_0)^{2} \Delta x + 6 x_0 \Delta x^{2} + 2 \Delta x^{3}}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x \left(6 (x_0)^{2} + 6 x_0 \Delta x + 2 \Delta x^{2}\right)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\require{cancel} \lim_{\Delta x \to 0} \left(6 (x_0)^{2} + \cancelto{0}{6
x_0 \Delta x} + \cancelto{0}{2 \Delta x^{2}}\right)$$ $$=$$ $$6 x_{0}^{2}$$
f) $$f(x) = x^{2} + x$$
$$f'(x)$$ $$=$$ $$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(x_0 + \Delta x)^{2} + (x_0 + \Delta x)\right] - (x_0^{2} + x_0)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(x_0^{2} + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2}) + (x_0 + \Delta x)\right] - (x_0^{2} + x_0)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2} + x_0 + \Delta x - x_0}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2} + \Delta x}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (2 x_0 + \Delta x + 1)}{\Delta x}\right)$$ $$=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0} (2 x_0 + \cancelto{0}{\Delta x} + 1)$$ $$=$$ $$2 x_0 + 1$$
Calcular derivadas pela definição pode ser um pouco exaustivo. O esforço empregado na resolução de derivadas pode ser reduzido consideravelmente por meio da aplicação de regras de derivação. No próximo artigo veremos algumas das regras de derivação.
Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W.
O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade.
1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.
RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.
STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.
Para citar esse artigo:
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