Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição

No artigo Introdução ao Cálculo de Derivadas aprendemos a calcular uma derivada utilizando a sua definição. Neste artigo, aprofundaremos um pouco mais sobre este cálculo através de exercícios.


Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição

Calcule a derivada das seguintes funções utilizando a definição de derivada. 


a) f(x)=2x no ponto x0=3


b) f(x)=x22x no ponto x0=6


c) f(x)=5x2 no ponto x0=2


d) f(x)=2x3 no ponto x0=2


e) f(x)=2x3


f) f(x)=x2+x


Caso já tenha resolvido os exercícios, é hora de conferir a resolução. Lembrando que a fórmula da definição de derivada é:


f(x)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx


Resolução

a) f(x)=2x no ponto x0=3


f(x) = limΔx0(2(3+Δx)23Δx) =


limΔx0(6+2Δx6Δx) =


limΔx0(2ΔxΔx)=2 

 



b) f(x)=x22x no ponto x0=6


f(x) = limΔx0([(6+Δx)22(6+Δx)](6226)Δx) =


limΔx0([62+26Δx+Δx22(6+Δx)](6226)Δx) =


limΔx0([36+12Δx+Δx22(6+Δx)](6226)Δx) =


limΔx0((36+12Δx+Δx2122Δx)(6226)Δx) =


limΔx0((24+10Δx+Δx2)(3612)Δx) =


limΔx0(24+10Δx+Δx224Δx) =


limΔx0(10Δx+Δx2Δx) =


limΔx0(Δx(10+Δx)Δx) =


limΔx0(10+Δx) =10



 

c) f(x)=5x2 no ponto x0=2

 

f(x) = limΔx0(5(2+Δx)2(522)Δx) =


limΔx0(5(22+22Δx+Δx2)(54)Δx) = 

 

limΔx0(5(4+4Δx+Δx2)(20)Δx) = 

 

limΔx0(2020Δx5Δx2+20Δx) =


limΔx0(20Δx5Δx2Δx) = 

 

limΔx0(Δx(205Δx)Δx) =


limΔx0(205Δx) = -20




d) f(x)=2x3 no ponto x0=2


f(x) = limΔx0([2(2+Δx)3][2(2)3]Δx) = 

 

limΔx0([2(2+Δx)3][2(2)3]Δx) = 

 

limΔx0({2[23+3(2)2Δx+3(2)Δx2+Δx3]}[2(2)3]Δx) =


limΔx0([2(812Δx6Δx2+Δx3)][2(8)]Δx) =


limΔx0(1012Δx6Δx2+Δx310Δx) =


limΔx0(12Δx6Δx2+Δx3Δx) =


limΔx0(Δx(126Δx+Δx2)Δx) =


limΔx0(126Δx+Δx2) = -12




e) f(x)=2x3


f(x) = limΔx0(2(x0+Δx)32(x0)3Δx) =


limΔx0(2[(x0)3+3(x0)2Δx+3x0Δx2+Δx3]2(x0)3Δx) =


limΔx0(2(x0)3+6(x0)2Δx+6x0Δx2+2Δx32(x0)3Δx) =


limΔx0(6(x0)2Δx+6x0Δx2+2Δx3Δx) =


limΔx0(Δx(6(x0)2+6x0Δx+2Δx2)Δx) =


limΔx0(6(x0)2+6x0Δx0+2Δx20) = 6x20




f) f(x)=x2+x


f(x) = limΔx0([(x0+Δx)2+(x0+Δx)](x20+x0)Δx) =


limΔx0([(x20+2x0Δx+Δx2)+(x0+Δx)](x20+x0)Δx) =


limΔx0(x20+2x0Δx+Δx2+x0+Δxx20x0Δx) =


limΔx0(2x0Δx+Δx2+x0+Δxx0Δx) =


limΔx0(2x0Δx+Δx2+ΔxΔx) = 

 

limΔx0(Δx(2x0+Δx+1)Δx) =


limΔx0(2x0+Δx0+1) = 2x0+1 

 

Calcular derivadas pela definição pode ser um pouco exaustivo. O esforço empregado na resolução de derivadas pode ser reduzido consideravelmente por meio da aplicação de regras de derivação. No próximo artigo veremos algumas das regras de derivação.


 

Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.


RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.


STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.



Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição. Publicado em: 31 out. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/10/exercicios-sobre-o-calculo-de-derivadas.html. Acesso em: 8 abr. 2025.

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