Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição

No artigo Introdução ao Cálculo de Derivadas aprendemos a calcular uma derivada utilizando a sua definição. Neste artigo, aprofundaremos um pouco mais sobre este cálculo através de exercícios.

Calcule a derivada das seguintes funções utilizando a definição de derivada. 

a) $f(x) = 2x$ no ponto $x_0 = 3$

b) $f(x) = x^{2} - 2x$ no ponto $x_0 = 6$

c) $f(x) = -5x^{2}$ no ponto $x_0 = 2$

d) $f(x) = 2 - x^{3}$ no ponto $x_0 = -2$

e) $f(x) = 2x^{3}$

f) $f(x) = x^{2} + x$

Caso já tenha resolvido os exercícios, é hora de conferir a resolução. Lembrando que a fórmula da definição de derivada é:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$

Resolução

a) $f(x) = 2x$ no ponto $x_0 = 3$

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \cdot (3 + \Delta x) - 2 \cdot 3}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{6 + 2 \Delta x - 6}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \Delta x}{\Delta x}\right) = \fbox{2}$ 

 

---

b) $f(x) = x^{2} - 2x$ no ponto $x_0 = 6$

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(6 + \Delta x)^{2} - 2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[6^{2} + 2 \cdot 6 \Delta x + \Delta x^{2} - 2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[36 + 12 \Delta x + \Delta x^{2} - 2(6 + \Delta x)\right] - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left(36 + 12 \Delta x + \Delta x^{2} - 12 - 2 \Delta x \right) - (6^{2} - 2 \cdot 6)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left(24 + 10 \Delta x + \Delta x^{2} \right) - (36 - 12)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{24 + 10 \Delta x + \Delta x^{2} - 24}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{10 \Delta x + \Delta x^{2}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (10 + \Delta x)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} (10 + \Delta x)$ $= \fbox{10}$

---

 

c) $f(x) = -5x^{2}$ no ponto $x_0 = 2$

 

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (2 + \Delta x)^{2} - (-5 \cdot 2^{2})}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (2^{2} + 2 \cdot 2 \Delta x + \Delta x^{2}) - (-5 \cdot 4)}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-5 (4 + 4 \Delta x + \Delta x^{2}) - (-20)}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-20 -20 \Delta x - 5 \Delta x^{2} + 20}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-20 \Delta x - 5 \Delta x^{2}}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (-20 - 5 \Delta x)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} (-20 - 5 \Delta x)$ $=$ $\fbox{-20}$

---

d) $f(x) = 2 - x^{3}$ no ponto $x_0 = -2$

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-2 + \Delta x)^{3}\right] - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-2 + \Delta x)^{3}\right] - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left\{2 - \left[-2^{3} + 3 \cdot (-2)^{2} \Delta x + 3 \cdot (-2) \Delta x^{2} + \Delta x^{3}\right]\right\} - \left[2 - (-2)^{3}\right]}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[2 - (-8 -12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3})\right] - \left[2 - (-8)\right]}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{10 -12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3} - 10 }{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{-12 \Delta x - 6 \Delta x^{2} + \Delta x^{3}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (-12 - 6 \Delta x + \Delta x^{2})}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(-12 - 6 \Delta x + \Delta x^{2}\right)$ $=$ $\fbox{-12}$

---

e) $f(x) = 2x^{3}$

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 (x_{0} + \Delta x)^{3} - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 \left[(x_{0})^{3} + 3 (x_0)^{2} \Delta x + 3 x_0 \Delta x^{2} + \Delta x^{3}\right] - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2(x_{0})^{3} + 6 (x_0)^{2} \Delta x + 6 x_0 \Delta x^{2} + 2 \Delta x^{3} - 2 (x_{0})^{3}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{6 (x_0)^{2} \Delta x + 6 x_0 \Delta x^{2} + 2 \Delta x^{3}}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x \left(6 (x_0)^{2} + 6 x_0 \Delta x + 2 \Delta x^{2}\right)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\require{cancel} \lim_{\Delta x \to 0} \left(6 (x_0)^{2} + \cancelto{0}{6 x_0 \Delta x} + \cancelto{0}{2 \Delta x^{2}}\right)$ $=$ $6 x_{0}^{2}$

---

f) $f(x) = x^{2} + x$

$f'(x)$ $=$ $\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(x_0 + \Delta x)^{2} + (x_0 + \Delta x)\right] - (x_0^{2} + x_0)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\left[(x_0^{2} + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2}) + (x_0 + \Delta x)\right] - (x_0^{2} + x_0)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{x_0^{2} + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2} + x_0 + \Delta x - x_0^{2} - x_0}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2} + x_0 + \Delta x - x_0}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{2 x_0 \Delta x + \Delta x^{2} + \Delta x}{\Delta x}\right)$ $=$ 

 

$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta x (2 x_0 + \Delta x + 1)}{\Delta x}\right)$ $=$

$\lim_{\Delta x \to 0} (2 x_0 + \cancelto{0}{\Delta x} + 1)$ $=$ $2 x_0 + 1$ 

 

Calcular derivadas pela definição pode ser um pouco exaustivo. O esforço empregado na resolução de derivadas pode ser reduzido consideravelmente por meio da aplicação de regras de derivação. No próximo artigo veremos algumas das regras de derivação.

• Regras de Derivação (próximo)
  
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de derivadas 
  

 

Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.

STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Exercícios sobre o cálculo de derivadas pela definição. Publicado em: 31 out. 2021. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2021/10/exercicios-sobre-o-calculo-de-derivadas.html. Acesso em: 5 abr. 2025.