No artigo Introdução ao Cálculo de Derivadas aprendemos a calcular uma derivada utilizando a sua definição. Neste artigo, aprofundaremos um pouco mais sobre este cálculo através de exercícios.
Calcule a derivada das seguintes funções utilizando a definição de derivada.
a) f(x)=2x no ponto x0=3
b) f(x)=x2−2x no ponto x0=6
c) f(x)=−5x2 no ponto x0=2
d) f(x)=2−x3 no ponto x0=−2
e) f(x)=2x3
f) f(x)=x2+x
Caso já tenha resolvido os exercícios, é hora de conferir a resolução. Lembrando que a fórmula da definição de derivada é:
f′(x)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
Resolução
a) f(x)=2x no ponto x0=3
f′(x) = limΔx→0(2⋅(3+Δx)−2⋅3Δx) =
limΔx→0(6+2Δx−6Δx) =
limΔx→0(2ΔxΔx)=2
b) f(x)=x2−2x no ponto x0=6
f′(x) = limΔx→0([(6+Δx)2−2(6+Δx)]−(62−2⋅6)Δx) =
limΔx→0([62+2⋅6Δx+Δx2−2(6+Δx)]−(62−2⋅6)Δx) =
limΔx→0([36+12Δx+Δx2−2(6+Δx)]−(62−2⋅6)Δx) =
limΔx→0((36+12Δx+Δx2−12−2Δx)−(62−2⋅6)Δx) =
limΔx→0((24+10Δx+Δx2)−(36−12)Δx) =
limΔx→0(24+10Δx+Δx2−24Δx) =
limΔx→0(10Δx+Δx2Δx) =
limΔx→0(Δx(10+Δx)Δx) =
limΔx→0(10+Δx) =10
c) f(x)=−5x2 no ponto x0=2
f′(x) = limΔx→0(−5(2+Δx)2−(−5⋅22)Δx) =
limΔx→0(−5(22+2⋅2Δx+Δx2)−(−5⋅4)Δx) =
limΔx→0(−5(4+4Δx+Δx2)−(−20)Δx) =
limΔx→0(−20−20Δx−5Δx2+20Δx) =
limΔx→0(−20Δx−5Δx2Δx) =
limΔx→0(Δx(−20−5Δx)Δx) =
limΔx→0(−20−5Δx) = -20
d) f(x)=2−x3 no ponto x0=−2
f′(x) = limΔx→0([2−(−2+Δx)3]−[2−(−2)3]Δx) =
limΔx→0([2−(−2+Δx)3]−[2−(−2)3]Δx) =
limΔx→0({2−[−23+3⋅(−2)2Δx+3⋅(−2)Δx2+Δx3]}−[2−(−2)3]Δx) =
limΔx→0([2−(−8−12Δx−6Δx2+Δx3)]−[2−(−8)]Δx) =
limΔx→0(10−12Δx−6Δx2+Δx3−10Δx) =
limΔx→0(−12Δx−6Δx2+Δx3Δx) =
limΔx→0(Δx(−12−6Δx+Δx2)Δx) =
limΔx→0(−12−6Δx+Δx2) =
-12
e) f(x)=2x3
f′(x) = limΔx→0(2(x0+Δx)3−2(x0)3Δx) =
limΔx→0(2[(x0)3+3(x0)2Δx+3x0Δx2+Δx3]−2(x0)3Δx) =
limΔx→0(2(x0)3+6(x0)2Δx+6x0Δx2+2Δx3−2(x0)3Δx) =
limΔx→0(6(x0)2Δx+6x0Δx2+2Δx3Δx) =
limΔx→0(Δx(6(x0)2+6x0Δx+2Δx2)Δx) =
limΔx→0(6(x0)2+6x0Δx0+2Δx20) = 6x20
f) f(x)=x2+x
f′(x) = limΔx→0([(x0+Δx)2+(x0+Δx)]−(x20+x0)Δx) =
limΔx→0([(x20+2x0Δx+Δx2)+(x0+Δx)]−(x20+x0)Δx) =
limΔx→0(2x0Δx+Δx2+x0+Δx−x0Δx) =
limΔx→0(2x0Δx+Δx2+ΔxΔx) =
limΔx→0(Δx(2x0+Δx+1)Δx) =
limΔx→0(2x0+Δx0+1) = 2x0+1
Calcular derivadas pela definição pode ser um pouco exaustivo. O esforço empregado na resolução de derivadas pode ser reduzido consideravelmente por meio da aplicação de regras de derivação. No próximo artigo veremos algumas das regras de derivação.
Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W.
O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade.
1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.
RODRIGUEZ, B. D. A.; MENEGHETTI, C. M. S.; POFFAL, C. A. Derivadas de funções reais de uma variável. 1. ed. Rio Grande: Editora da FURG, 2016. 123 p.
STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.
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