Continuidade de uma Função e Limites

No artigo anterior aprendemos sobre as propriedades dos limites, que podem ser utilizadas na resolução matemática de limites finitos ou infinitos. Neste novo tópico de estudo analisaremos a continuidade de uma função e a sua relação com os limites.

Índice

1. Conceito
2. Definição
3. Exemplos
   1. Resolução

Conceito

Intuitivamente, quando o gráfico de uma função não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua.

Exemplo de Função Contínua f(x) = 2sen(x)

Se houver algum ponto onde ocorre a interrupção, dizemos que é um ponto de descontinuidade.

Exemplo de Função Descontínua f(x) = x/|x|

Definição

Se uma função tem limite em um ponto A e, além disso, é possível calcular o valor dessa função no ponto e o valor coincide com o limite, podemos dizer que a função é contínua nesse ponto.

Uma função f é contínua em um número a se:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Essa definição requer implicitamente três condições para a continuidade de f em a.

1. $f(a)$ está definida, ou seja, a está no domínio de f.

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe.

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Note que $\exists\lim_{x \to a} f(x)$ se:

1. $\exists\lim_{x \to a^{+}} f(x)$
2. $\exists\lim_{x \to a^{-}} f(x)$
3. $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x)$

Exemplos

Verificar a continuidade das funções:

a) $f(x) = 4x + 1$ no ponto $x = 1$

b) $f(x) = \begin{cases} 2x + 3 \text{, se x} \not=  \text{ 1}\\ 4 \text{,          se x = 1}\end{cases}$ no ponto $x = 1$

c) $f(x) = \begin{cases} x - 3 \text{, se x} \leq  \text{ 1}\\ 1 - x \text{, se x > 1}\end{cases}$ no ponto $x = 1$

d) $f(x) = \begin{cases} x^{2} - 1 \text{, se x < 2} \\ 7 - 2x \text{, se x} \geq 2 \end{cases}$ no ponto $x = 2$

Resolução

a) $f(x) = 4x + 1$ no ponto $x = 1$

1º verificando se existe $f(a)$ sendo $a = 1$.

$f(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5$

2º Verificando se existe o limite de $f(x)$ no ponto $x = 1$.

$\lim_{x \to 1} (4x + 1) = 5$

3º Verificando se $f(a)$ no ponto $a = 1$ é igual ao limite de $f(x)$ no ponto $x = 1$.

$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Gráfico

A função é contínua no ponto x = 1.

Resposta: a função $f(x)$ é contínua no ponto $x = 1$.

---

b) $f(x) = \begin{cases} 2x + 3 \text{, se x} \not=  \text{ 1}\\ 4 \text{,          se x = 1}\end{cases}$ no ponto $x = 1$

1º verificando se existe $f(a)$ sendo $a = 1$.

$f(1) = 4$

2º Verificando se existe o limite de $f(x)$ no ponto $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^{+}} (2x + 3) = 5$

$\lim_{x \to 1^{-}} (2x + 3) = 5$

$\lim_{x \to 1^{-}} (2x + 3)$ $=$ $\lim_{x \to 1^{+}} (2x + 3)$ $\therefore$ $\exists\lim_{x \to 1} (2x + 3) = 5$

3º Verificando se $f(a)$ no ponto $a = 1$ é igual ao limite de $f(x)$ no ponto $x = 1$.

$f(1) \not= \lim_{x \to 1} (2x + 3) \therefore$ $f(x)$ não é contínua no ponto $x = 1$.

Gráfico

A função não é contínua no ponto x = 1

Resposta: a função $f(x)$ não é contínua no ponto $x = 1$.

---

c) $f(x) = \begin{cases} x - 3 \text{, se x} \leq  \text{ 1}\\ 1 - x \text{, se x > 1}\end{cases}$ no ponto $x = 1$

1º verificando se existe $f(a)$ sendo $a = 1$.

$f(1) = 1 - 3 = -2$

2º Verificando se existe o limite de $f(x)$ no ponto $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^{-}} (x - 3) = 1 - 3 = -2$

$\lim_{x \to 1^{+}} (1 - x) = 1 - 1 = 0$

$\lim_{x \to 1^{-}} f(x)$ $\not=$ $\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ $\therefore$ $\not\exists \lim_{x \to 1} f(x)$

Gráfico

A função não é contínua no ponto x = 1

Resposta: a função $f(x)$ não é contínua no ponto $x = 1$.

---

d) $f(x) = \begin{cases} x^{2} - 1 \text{, se x < 2} \\ 7 - 2x \text{, se x} \geq 2 \end{cases}$ no ponto $x = 2$

1º verificando se existe $f(a)$ sendo $a = 2$.

$f(2) = 7 - (2 \cdot 2) = 3$

2º Verificando se existe o limite de $f(x)$ no ponto $x = 2$.

$\lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} - 1) = 2^{2} - 1 = 3$

$\lim_{x \to 2^{+}} (7 - 2x) = 7 - (2 \cdot 2) = 3$

$\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ $\therefore$ $\exists \lim_{x \to 2} f(x) = 3$

3º Verificando se $f(a)$ no ponto $a = 2$ é igual ao limite de $f(x)$ no ponto $x = 2$.

$f(2) = \lim_{x \to 2} (7 - 2x) \therefore f(x)$ é contínua no ponto $x = 2$.

Gráfico

A função é contínua no ponto x = 2

Resposta: a função $f(x)$ é contínua no ponto $x = 2$.

Estas foram as resoluções de exercícios envolvendo a continuidade de uma função com limites. No próximo artigo veremos o cálculo do limite fundamental exponencial.

Artigos

• Limite Fundamental Exponencial pt. 1 (próximo)
  
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Referência Bibliográfica
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.

STEWART, J. Cálculo volume I. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 532 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Continuidade de uma Função e Limites. Publicado em: 28 jul. 2020. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2020/07/continuidade-de-uma-funcao-e-limites.html. Acesso em: 6 abr. 2025.