Limite de uma Função Polinomial para X tendendo a ± Infinito

Nos artigos anteriores você acompanhou a resolução de alguns exercícios sobre limites infinitos e x tendendo a mais ou menos infinito. Caso não tenha visto, pode conferir todos os exercícios aqui. Nesse artigo ainda veremos uma continuidade do assunto, mas com funções polinomiais.


Considere a função a seguir:

f(x)=4x3+2x23x+2

Qual o limite dessa função quando X tende ao infinito?

limx(4x3+2x23x+2) = 43+223+2 = = ?

O infinito não é um número. É uma concepção de um valor extraordinariamente grande. Logo, não temos como saber o quanto é mais infinito menos infinito porque não temos certeza do quanto um valor é infinitamente maior que o outro. Confuso, não? Mas podemos resolver isso de outras formas.

Colocando o Termo de Maior Grau em Evidência

Podemos colocar o termo de maior grau em evidência. Ou seja, dividir todos os membros da equação por um fator em comum (que é o termo de maior grau) e deixá-lo multiplicando a equação.

limx(4x3+2x23x+2) = limx[x3(4x3x3+2x2x33xx3+2x3)] = limx[x3(4+2x3x2+2x3)]

Agora temos o limite do produto de duas funções que, pela propriedade dos limites, é igual ao produto dos limites das funções.

limx(x3)limx(4+2x3x2+2x3) = limx(x3)limx(4+2x03x20+2x30) =34=

Na etapa antepenúltima, usamos mais uma propriedade do limite: o limite da soma é igual a soma dos limites. O limite de 4 (função constante) é igual a 4, independentemente da tendência e o limite de a/xn  — com n pertencendo aos naturais não-nulos  — é igual a 0 quando a tendência é o infinito.

Essa é uma forma de se resolver esse tipo de limite. Outra forma, e mais prática, é tirar o limite do termo de maior grau, diretamente, e ignorar os outros termos.

limx(4x3+2x23x+2) = limx4x3=

Gráfico:
Gráfico da função 4x3 + 2x2 - 3x + 2.

É importante ressaltar que, embora o limite de 4x3 + 2x2 - 3x + 2 seja igual ao limite de 4x3, essas duas funções não são iguais (basta calcular f(0) e g(0)). Veja o gráfico abaixo:

Gráfico de ambas as funções.

Note que na função g(x) o mais infinito cresce mais que menos infinito. Será por meio dessa segunda forma que resolveremos os próximos limites de funções polinomiais com x tendendo para mais ou para menos infinito.

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Para citar esse artigo:
CRUZ, C. Limite de uma Função Polinomial para X tendendo a ± Infinito. Publicado em: 25 mar. 2019. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2019/03/limite-de-uma-funcao-polinomial-para-x-tendendo-a-mais-ou-menos-infinito.html. Acesso em: 7 abr. 2025.

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