Nos artigos anteriores você acompanhou a resolução de alguns exercícios sobre limites infinitos e x tendendo a mais ou menos infinito. Caso não tenha visto, pode conferir todos os exercícios aqui. Nesse artigo ainda veremos uma continuidade do assunto, mas com funções polinomiais.
Considere a função a seguir:
$$f(x) =4x^{3} + 2x^{2} - 3x + 2$$
Qual o limite dessa função quando X tende ao infinito?
$$\lim_{x \to \infty} (4x^{3} + 2x^{2} - 3x + 2)$$ $$=$$ $$4 \cdot \infty^{3} + 2 \cdot \infty^{2} - 3 \cdot \infty + 2$$ $$=$$ $$\infty - \infty = \text{ ?}$$
O infinito não é um número. É uma concepção de um valor extraordinariamente grande. Logo, não temos como saber o quanto é mais infinito menos infinito porque não temos certeza do quanto um valor é infinitamente maior que o outro. Confuso, não? Mas podemos resolver isso de outras formas.
Colocando o Termo de Maior Grau em Evidência
Podemos colocar o termo de maior grau em evidência. Ou seja, dividir todos os membros da equação por um fator em comum (que é o termo de maior grau) e deixá-lo multiplicando a equação.
$$\lim_{x \to \infty} (4x^{3} + 2x^{2} - 3x + 2)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} \left[x^{3}\left(\frac{4x^{3}}{x^{3}} + \frac{2x^{2}}{x^{3}} - \frac{3x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}\right)\right]$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} \left[x^{3}\left(4 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right)\right]$$
Agora temos o limite do produto de duas funções que, pela propriedade dos limites, é igual ao produto dos limites das funções.
$$\lim_{x \to \infty}(x^{3}) \cdot \lim_{x \to \infty}\left(4 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$ $$=$$ $$\require{cancel} \lim_{x \to \infty}(x^{3}) \cdot \lim_{x \to \infty}\left(4 + \cancelto{0}{\frac{2}{x}} - \cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}} + \cancelto{0}{\frac{2}{x^{3}}}\right)$$ $$= \infty^{3} \cdot 4 = \infty$$
Na etapa antepenúltima, usamos mais uma propriedade do limite: o limite da soma é igual a soma dos limites. O limite de 4 (função constante) é igual a 4, independentemente da tendência e o limite de a/xn — com n pertencendo aos naturais não-nulos — é igual a 0 quando a tendência é o infinito.
Essa é uma forma de se resolver esse tipo de limite. Outra forma, e mais prática, é tirar o limite do termo de maior grau, diretamente, e ignorar os outros termos.
$$\lim_{x \to \infty} (4x^{3} + 2x^{2} - 3x + 2)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to \infty} 4x^{3} = \infty$$
Gráfico:
É importante ressaltar que, embora o limite de 4x3 + 2x2 - 3x + 2 seja igual ao limite de 4x3, essas duas funções não são iguais (basta calcular f(0) e g(0)). Veja o gráfico abaixo:
Note que na função g(x) o mais infinito cresce mais que menos infinito. Será por meio dessa segunda forma que resolveremos os próximos limites de funções polinomiais com x tendendo para mais ou para menos infinito.
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| Gráfico da função 4x3 + 2x2 - 3x + 2. |
É importante ressaltar que, embora o limite de 4x3 + 2x2 - 3x + 2 seja igual ao limite de 4x3, essas duas funções não são iguais (basta calcular f(0) e g(0)). Veja o gráfico abaixo:
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| Gráfico de ambas as funções. |
Note que na função g(x) o mais infinito cresce mais que menos infinito. Será por meio dessa segunda forma que resolveremos os próximos limites de funções polinomiais com x tendendo para mais ou para menos infinito.
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