Esta é a última parte da nossa lista de exercícios sobre limite de uma função polinomial com X tendendo a ± Infinito. Você pode acompanhar a listagem completa da lista de exercícios aqui.
a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x^{2} - 3x + 7}$$
b) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$$
c) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$$
d) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$$
e) $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$$
a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x² - 3x + 7}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x + 2)}{\lim_{x \to -\infty} (x² - 3x + 7)}$$ $$=$$
$$\require{cancel}\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x)}{\lim_{x \to -\infty} (x²)}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4x}{x²}\right)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\cancelto{0}{\frac{4}{x}}\right)$$ $$=$$ $$0$$
Gráfico:
b) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2} - 1)}{\lim_{x \to -\infty} (6x + 1)}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2})}{\lim_{x \to -\infty} (6x)}$$ $$=$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-3x^{2}}{6x}\right)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-x}{2}\right)$$ $$=$$ $$\frac{-(-\infty)}{2} = \infty$$
Gráfico:
c) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}\right)}$$ $$=$$ $$\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2} -3x)}{\lim_{x \to \infty} (x^{2} - 1)}}$$ $$=$$
$$\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\cancelto{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\right)}$$ $$=$$ $$\sqrt{1} = 1$$
Note que para resolver esse limite foram aplicadas duas propriedades: a da razão e a da radiciação.
$$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}$$ $$=$$ $$\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$$
Gráfico:
d) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3} - x^{2} + x - 1)}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3})}$$ $$=$$
$$\sqrt{\infty} = \infty$$
Note que a raiz quadrada de infinito não é uma indeterminação matemática.
Gráfico:
e) $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\lim_{x \to \infty} \left[\frac{6x - 1}{2x + 3}\right]\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x - 1]}{\lim_{x \to \infty} [2x + 3]}\right)^2$$ $$=$$
$$\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x]}{\lim_{x \to \infty} [2x]}\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\lim_{x \to \infty} \left[\cancelto{3}{\frac{6x}{2x}}\right]\right)^2$$ $$=$$ $$3^2 = 9$$
Novamente utilizamos mais uma propriedade dos limites, a da potenciação.
$$\lim_{x \to a} (f(x))^{n} = (\lim_{x \to a} f(x))^{n}$$
Gráfico:
No próximo artigo falaremos um pouco sobre a propriedade dos limites, já que algumas propriedades foram usadas ao longo desta série.
Artigos
Para citar esse artigo:
a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x^{2} - 3x + 7}$$
b) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$$
c) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$$
d) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$$
e) $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$$
Resolução
Após ter resolvido cada caso em particular, este é o momento de conferir suas respostas e acompanhar também o gráfico função.a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x² - 3x + 7}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x + 2)}{\lim_{x \to -\infty} (x² - 3x + 7)}$$ $$=$$
$$\require{cancel}\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x)}{\lim_{x \to -\infty} (x²)}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4x}{x²}\right)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\cancelto{0}{\frac{4}{x}}\right)$$ $$=$$ $$0$$
Gráfico:
 |
| f(x) = (4x-2)/(x2 - 3x + 7) |
b) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2} - 1)}{\lim_{x \to -\infty} (6x + 1)}$$ $$=$$ $$\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2})}{\lim_{x \to -\infty} (6x)}$$ $$=$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-3x^{2}}{6x}\right)$$ $$=$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-x}{2}\right)$$ $$=$$ $$\frac{-(-\infty)}{2} = \infty$$
Gráfico:
 |
| f(x) = (-3x2 - 1)/(6x + 1) |
c) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}\right)}$$ $$=$$ $$\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2} -3x)}{\lim_{x \to \infty} (x^{2} - 1)}}$$ $$=$$
$$\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\cancelto{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\right)}$$ $$=$$ $$\sqrt{1} = 1$$
Note que para resolver esse limite foram aplicadas duas propriedades: a da razão e a da radiciação.
$$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}$$ $$=$$ $$\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$$
Gráfico:
 |
| f(x) = (x2 - 3x)/(x2 - 1) |
d) $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3} - x^{2} + x - 1)}$$ $$=$$ $$\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3})}$$ $$=$$
$$\sqrt{\infty} = \infty$$
Note que a raiz quadrada de infinito não é uma indeterminação matemática.
Gráfico:
 |
| f(x) = √(x3 - x2 + x - 1) |
e) $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\lim_{x \to \infty} \left[\frac{6x - 1}{2x + 3}\right]\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x - 1]}{\lim_{x \to \infty} [2x + 3]}\right)^2$$ $$=$$
$$\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x]}{\lim_{x \to \infty} [2x]}\right)^2$$ $$=$$ $$\left(\lim_{x \to \infty} \left[\cancelto{3}{\frac{6x}{2x}}\right]\right)^2$$ $$=$$ $$3^2 = 9$$
Novamente utilizamos mais uma propriedade dos limites, a da potenciação.
$$\lim_{x \to a} (f(x))^{n} = (\lim_{x \to a} f(x))^{n}$$
Gráfico:
 |
| f(x) = ((6x - 1)/(2x + 3))2 |
No próximo artigo falaremos um pouco sobre a propriedade dos limites, já que algumas propriedades foram usadas ao longo desta série.
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