Exercícios sobre Limite de uma Função Polinomial para X tendendo a ± Infinito (3/3)

Esta é a última parte da nossa lista de exercícios sobre limite de uma função polinomial com X tendendo a ± Infinito. Você pode acompanhar a listagem completa da lista de exercícios aqui.

a) $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x^{2} - 3x + 7}$

b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$

c) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$

d) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$

e) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$

Resolução

Após ter resolvido cada caso em particular, este é o momento de conferir suas respostas e acompanhar também o gráfico função.

a) $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 2}{x² - 3x + 7}$ $=$ $\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x + 2)}{\lim_{x \to -\infty} (x² - 3x + 7)}$ $=$

$\require{cancel}\frac{\lim_{x \to -\infty} (4x)}{\lim_{x \to -\infty} (x²)}$ $=$ $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4x}{x²}\right)$ $=$ $\lim_{x \to -\infty} \left(\cancelto{0}{\frac{4}{x}}\right)$ $=$ $0$

Gráfico:

f(x) = (4x-2)/(x² - 3x + 7)

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b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^{2} - 1}{6x + 1}$ $=$ $\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2} - 1)}{\lim_{x \to -\infty} (6x + 1)}$ $=$ $\frac{\lim_{x \to -\infty} (-3x^{2})}{\lim_{x \to -\infty} (6x)}$ $=$

$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-3x^{2}}{6x}\right)$ $=$  $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-x}{2}\right)$ $=$ $\frac{-(-\infty)}{2} = \infty$

Gráfico:

f(x) = (-3x² - 1)/(6x + 1)

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c) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}}$ $=$ $\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} -3x}{x^{2} - 1}\right)}$ $=$ $\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2} -3x)}{\lim_{x \to \infty} (x^{2} - 1)}}$ $=$

$\sqrt{\frac{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}{\lim_{x \to \infty} (x^{2})}}$ $=$ $\sqrt{\lim_{x \to \infty} \left(\cancelto{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\right)}$ $=$ $\sqrt{1} = 1$

Note que para resolver esse limite foram aplicadas duas propriedades: a da razão e a da radiciação.

$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}$ $=$ $\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$

Gráfico:

f(x) = (x² - 3x)/(x² - 1)

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d) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^{3} - x^{2} + x - 1}$ $=$ $\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3} - x^{2} + x - 1)}$ $=$ $\sqrt{\lim_{x \to \infty} (2x^{3})}$ $=$

$\sqrt{\infty} = \infty$

Note que a raiz quadrada de infinito não é uma indeterminação matemática.

Gráfico:

f(x) = √(x³ - x² + x - 1)

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e) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x - 1}{2x + 3}\right)^2$ $=$ $\left(\lim_{x \to \infty} \left[\frac{6x - 1}{2x + 3}\right]\right)^2$ $=$ $\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x - 1]}{\lim_{x \to \infty} [2x + 3]}\right)^2$ $=$

$\left(\frac{\lim_{x \to \infty} [6x]}{\lim_{x \to \infty} [2x]}\right)^2$ $=$ $\left(\lim_{x \to \infty} \left[\cancelto{3}{\frac{6x}{2x}}\right]\right)^2$ $=$ $3^2 = 9$

Novamente utilizamos mais uma propriedade dos limites, a da potenciação.

$\lim_{x \to a} (f(x))^{n} = (\lim_{x \to a} f(x))^{n}$

Gráfico:

f(x) = ((6x - 1)/(2x + 3))²

No próximo artigo falaremos um pouco sobre a propriedade dos limites, já que algumas propriedades foram usadas ao longo desta série.

Artigos

• Propriedades dos Limites (próximo)
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Exercícios sobre Limite de uma Função Polinomial para X tendendo a ± Infinito (3/3). Publicado em: 13 abr. 2020. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2020/04/exercicios-sobre-limite-de-uma-funcao-polinomial-3-3.html. Acesso em: 8 abr. 2025.