Teoria dos Conjuntos - Introdução

A Teoria dos Conjuntos é um assunto importante na matemática devido a abrangência de sua aplicação. Descoberta por Georg Cantor (1845 – 1918), ela trata das relações entre conjuntos, elementos e suas propriedades.

Índice

Georg Cantor
Conjuntos e Elementos
Considerações Finais

Georg Cantor

Georg Cantor
(Foto: aldoaldoz / VisualHunt) CC BY-NC-SA

Georg Cantor nasceu na Rússia, mas aos seus 11 anos mudou-se para a Alemanha, onde viveu até sua morte e estudou matemática, física e filosofia. Defendeu a teoria dos números como tese para o seu doutorado em Berlim e, posteriormente, acabou sendo reconhecido como um notável matemático de seu tempo. Morreu aos 72 anos de idade.

Conjuntos e Elementos

Um conjunto é uma coleção de objetos, números ou qualquer outra coisa que possa ser agrupada, contada. Um conjunto geralmente é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.

Todas essas partes que compõem um conjunto são chamadas de elementos. Podemos imaginar um cardume como um conjunto. E dentro desse conjunto, os elementos são os próprios peixes.

Relação de Pertinência

Supondo que o peixe seja representado pela letra p, o cardume pela letra C e um tubarão pela letra t:

Se um peixe pertence ao conjunto cardume e o tubarão não pertence ao conjunto cardume, a representação matemática para isso pode ser dada por:

$p \in C$ (lê-se: p pertence a C)

$t \notin C$ (lê-se: t não pertence a C)

Representando um Conjunto

Os elementos de um conjunto podem ser representados das seguintes maneiras:

Enumeração ou por extensão,
com uma propriedade em comum ou compreensão e
em forma de diagramas.

Conjunto Enumerado (Extensão)

Supondo um conjunto A, de números inteiros positivos maior que zero e menor que dez, podemos representá-los como:

$A$

$=$

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

As chaves indicam que o que existe em seu interior são elementos do conjunto, separados por vírgulas. Esta forma permite representar todos os elementos de um conjunto entre chaves.

Sendo B o conjunto dos números pares, inteiros e positivos, não podemos representar todos os seus elementos. Então usa-se reticências:

$B$

$=$

$\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...\}$

Conjunto com uma Propriedade em Comum (Compreensão)

Essa notação serve para um conjunto C que obedeça uma propriedade P. Exemplo: o conjunto C recebe todo elemento que for um número ímpar menor que 10.

$C$

$=$

$\{x \mid x \text{$$ $$seja um número ímpar menor que$$ $$}10\}$ (lê-se: C é o conjunto dos elementos x tal que x seja um número ímpar menor que 10)

$C$

$=$

$\{..., 1, 3, 5, 7, 9\}$

Exemplo 2: D é o conjunto dos elementos y, tal que y seja inteiro, maior que zero e menor que 5.

$D = \{y \mid y \in \mathbb{N} \text{* e } y < 5\}$

$D = \{1, 2, 3, 4\}$

Lê-se: D é o conjunto dos elementos y, tal que y pertence ao conjunto dos números naturais não nulos ( $\mathbb{N}\text{*}$ ) e y é menor que 5. Obs.:

A barra vertical "|" significa tal que. Também pode ser usado a barra "/".
O símbolo de menor é representado por < (aponta para a esquerda).
O símbolo de maior é representado por > (aponta para a direita).

Exemplo 3:

$D = \{1, 2, 3, 4\}$

$n(D) = 4$ (lê-se: O número de elementos do conjunto D é igual a 4)

Conjunto em Diagrama

Consiste em representar todos os elementos contidos em um conjunto através de um diagrama. O diagrama mais usado é o Diagrama de Venn ou Diagrama de Euler.

Diagrama de Venn

Neste diagrama, todos os elementos que pertencem ao conjunto E estão em seu interior, delimitado por uma linha azul.

$a \in E, b \in E, c \notin E, d \notin E, e \in E$

$E = \{a, b, e\}$

Agora que já vimos as três representações importantes de um conjunto (extensão, compreensão e diagrama), veremos mais alguns tipos de conjuntos.

Conjunto Unitário

É todo conjunto formado por um único elemento. Seja A um conjunto, tal que x + 2 = 3, sendo x positivo.

$A = \{x \mid x > 0 \text{ e } x+ 2 = 3\}$

$A = \{1\}$

Conjunto Vazio

Como o nome sugere, é todo conjunto que não possui elementos. Seja B o conjunto do elemento x, tal que x² > x³, sendo x positivo e maior ou igual a 1.

$B = \{x \mid x^{2} > x^{3}\text{ e } x \ge 1\}$

$B = \varnothing$

O símbolo $\varnothing$ representa um conjunto vazio. Também poderia ser escrito $B = \{\text{ } \}$ .

O símbolo

$\ge$ significa maior ou igual.

Observação importante: Não se representa um conjunto vazio por $B = \{\varnothing\}$ . Essa representação indica um conjunto unitário que possui um conjunto vazio como elemento.
Também não se representa um conjunto vazio pela letra grega fi " $\phi$ ".

O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos, inclusive em si mesmo. Veremos essa relação de estar contido ou não no próximo artigo.

Conjunto Igual

É quando dois ou mais conjuntos, possuem os mesmos elementos.

Seja A o conjunto formado pelos elementos da palavra "grite" e B o conjunto formado pelos elementos da palavra "tigre".

$A = \{g, r, i, t, e\}$

$B = \{t, i, g, r, e\}$

Independentemente da ordem, o conjunto A contém os mesmos elementos que o conjunto B. Ou seja, se ambos contêm os mesmos elementos, são conjuntos iguais.

$A = B$ , caso contrário seria

$A \not= B$ (lê-se: A diferente de B).

Ou na relação de inclusão que veremos no outro artigo, podemos dizer:

$A \subset B \Rightarrow B \subset A \Leftrightarrow A = B$

Conjunto Universo

É o conjunto que abrange todos os elementos. Geralmente é representado pela letra U. Exemplo: quantos números são menores que 5?

Caso o conjunto solução seja dos números inteiros: $S = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$
Caso o conjunto solução seja dos números naturais: $S = \{0, 1, 2, 3, 4\}$

Todos esses conjuntos pertencem ao Conjunto Universo. Ou seja, a resposta para uma pergunta dependerá muito do conjunto que se estiver trabalhando. Representando os casos por compreensão, ficará assim:

$S = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \text{ e } x < 5\}$
$S = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ e } x < 5\}$

No próximo artigo iremos aprender sobre subconjuntos e simbologias usadas para representar as relações estabelecidas entre os conjuntos, seus elementos e subconjuntos.

Considerações Finais

O objetivo deste artigo foi trazer uma breve introdução à Teoria dos Conjuntos, um tópico importante da Matemática Discreta e também a base para se estudar funções e outros tópicos da Matemática em geral. Você aprendeu:

O que é um conjunto.
O que é um elemento.
Relação de pertinência.
Formas de se representar um conjunto.
Tipos de conjuntos (unitário, igual, vazio e universo).

Artigos

Referência Bibliográfica
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.

Para citar esse artigo:

CRUZ, C. Teoria dos Conjuntos - Introdução. Publicado em: 4 jul. 2016. Disponível em https://autociencia.blogspot.com/2016/07/teoria-dos-conjuntos-introducao.html. Acesso em: 5 abr. 2025.

Autociência

Pesquisar este blog