A Teoria dos Conjuntos é um assunto importante na matemática devido a abrangência de sua aplicação. Descoberta por Georg Cantor (1845 – 1918), ela trata das relações entre conjuntos, elementos e suas propriedades.
Georg Cantor
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| Georg Cantor (Foto: aldoaldoz / VisualHunt) CC BY-NC-SA |
Georg Cantor nasceu na Rússia, mas aos seus 11 anos mudou-se para a Alemanha, onde viveu até sua morte e estudou matemática, física e filosofia. Defendeu a teoria dos números como tese para o seu doutorado em Berlim e, posteriormente, acabou sendo reconhecido como um notável matemático de seu tempo. Morreu aos 72 anos de idade.
Conjuntos e Elementos
Um conjunto é uma coleção de objetos, números ou qualquer outra coisa que possa ser agrupada, contada. Um conjunto geralmente é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.
Todas essas partes que compõem um conjunto são chamadas de elementos. Podemos imaginar um cardume como um conjunto. E dentro desse conjunto, os elementos são os próprios peixes.
Relação de Pertinência
Supondo que o peixe seja representado pela letra p, o cardume pela letra C e um tubarão pela letra t:
Se um peixe pertence ao conjunto cardume e o tubarão não pertence ao conjunto cardume, a representação matemática para isso pode ser dada por:
$$p \in C$$ (lê-se: p pertence a C)$$t \notin C$$ (lê-se: t não pertence a C)
Representando um Conjunto
Os elementos de um conjunto podem ser representados das seguintes maneiras:- Enumeração ou por extensão,
- com uma propriedade em comum ou compreensão e
- em forma de diagramas.
Conjunto Enumerado (Extensão)
Supondo um conjunto A, de números inteiros positivos maior que zero e menor que dez, podemos representá-los como:
$$A$$ $$=$$ $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$As chaves indicam que o que existe em seu interior são elementos do conjunto, separados por vírgulas. Esta forma permite representar todos os elementos de um conjunto entre chaves.
Sendo B o conjunto dos números pares, inteiros e positivos, não podemos representar todos os seus elementos. Então usa-se reticências:
$$B$$ $$=$$ $$\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...\}$$Conjunto com uma Propriedade em Comum (Compreensão)
Essa notação serve para um conjunto C que obedeça uma propriedade P. Exemplo: o conjunto C recebe todo elemento que for um número ímpar menor que 10.
$$C$$ $$=$$ $$\{x \mid x \text{$$ $$seja um número ímpar menor que$$ $$}10\}$$ (lê-se: C é o conjunto dos elementos x tal que x seja um número ímpar menor que 10)
$$C$$ $$=$$ $$\{..., 1, 3, 5, 7, 9\}$$
Exemplo 2: D é o conjunto dos elementos y, tal que y seja inteiro, maior que zero e menor que 5.
$$D = \{y \mid y \in \mathbb{N} \text{* e } y < 5\}$$$$D = \{1, 2, 3, 4\}$$
Lê-se: D é o conjunto dos elementos y, tal que y pertence ao conjunto dos números naturais não nulos ($$\mathbb{N}\text{*}$$) e y é menor que 5. Obs.:
- A barra vertical "|" significa tal que. Também pode ser usado a barra "/".
- O símbolo de menor é representado por < (aponta para a esquerda).
- O símbolo de maior é representado por > (aponta para a direita).
$$D = \{1, 2, 3, 4\}$$
$$n(D) = 4$$ (lê-se: O número de elementos do conjunto D é igual a 4)
Conjunto em Diagrama
Consiste em representar todos os elementos contidos em um conjunto através de um diagrama. O diagrama mais usado é o Diagrama de Venn ou Diagrama de Euler.
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| Diagrama de Venn |
Neste diagrama, todos os elementos que pertencem ao conjunto E estão em seu interior, delimitado por uma linha azul.
$$a \in E, b \in E, c \notin E, d \notin E, e \in E$$$$E = \{a, b, e\}$$
Agora que já vimos as três representações importantes de um conjunto (extensão, compreensão e diagrama), veremos mais alguns tipos de conjuntos.
Conjunto Unitário
É todo conjunto formado por um único elemento. Seja A um conjunto, tal que x + 2 = 3, sendo x positivo.
$$A = \{x \mid x > 0 \text{ e } x+ 2 = 3\}$$$$A = \{1\}$$
Conjunto Vazio
Como o nome sugere, é todo conjunto que não possui elementos. Seja B o conjunto do elemento x, tal que x2 > x3, sendo x positivo e maior ou igual a 1.
$$B = \{x \mid x^{2} > x^{3}\text{ e } x \ge 1\}$$$$B = \varnothing$$
O símbolo $$\varnothing$$ representa um conjunto vazio. Também poderia ser escrito $$B = \{\text{ } \}$$.
O símbolo $$\ge$$ significa maior ou igual.
Observação importante: Não se representa um conjunto vazio por $$B = \{\varnothing\}$$. Essa representação indica um conjunto unitário que possui um conjunto vazio como elemento.
Também não se representa um conjunto vazio pela letra grega fi "$$\phi$$".
O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos, inclusive em si mesmo. Veremos essa relação de estar contido ou não no próximo artigo.
Conjunto Igual
É quando dois ou mais conjuntos, possuem os mesmos elementos.
Seja A o conjunto formado pelos elementos da palavra "grite" e B o conjunto formado pelos elementos da palavra "tigre".
$$A = \{g, r, i, t, e\}$$$$B = \{t, i, g, r, e\}$$
Independentemente da ordem, o conjunto A contém os mesmos elementos que o conjunto B. Ou seja, se ambos contêm os mesmos elementos, são conjuntos iguais.
$$A = B$$, caso contrário seria $$A \not= B$$ (lê-se: A diferente de B).Ou na relação de inclusão que veremos no outro artigo, podemos dizer:
$$A \subset B \Rightarrow B \subset A \Leftrightarrow A = B$$
Conjunto Universo
É o conjunto que abrange todos os elementos. Geralmente é representado pela letra U. Exemplo: quantos números são menores que 5?
- Caso o conjunto solução seja dos números inteiros: $$S = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$
- Caso o conjunto solução seja dos números naturais: $$S = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$
Todos esses conjuntos pertencem ao Conjunto Universo. Ou seja, a resposta para uma pergunta dependerá muito do conjunto que se estiver trabalhando. Representando os casos por compreensão, ficará assim:
- $$S = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \text{ e } x < 5\}$$
- $$S = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ e } x < 5\}$$
No próximo artigo iremos aprender sobre subconjuntos e simbologias usadas para representar as relações estabelecidas entre os conjuntos, seus elementos e subconjuntos.
Considerações Finais
O objetivo deste artigo foi trazer uma breve introdução à Teoria dos Conjuntos, um tópico importante da Matemática Discreta e também a base para se estudar funções e outros tópicos da Matemática em geral. Você aprendeu:
- O que é um conjunto.
- O que é um elemento.
- Relação de pertinência.
- Formas de se representar um conjunto.
- Tipos de conjuntos (unitário, igual, vazio e universo).
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Para citar esse artigo:
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