A Teoria dos Conjuntos é um assunto importante na matemática devido a abrangência de sua aplicação. Descoberta por Georg Cantor (1845 – 1918), ela trata das relações entre conjuntos, elementos e suas propriedades.
Georg Cantor
![]() |
Georg Cantor (Foto: aldoaldoz / VisualHunt) CC BY-NC-SA |
Georg Cantor nasceu na Rússia, mas aos seus 11 anos mudou-se para a Alemanha, onde viveu até sua morte e estudou matemática, física e filosofia. Defendeu a teoria dos números como tese para o seu doutorado em Berlim e, posteriormente, acabou sendo reconhecido como um notável matemático de seu tempo. Morreu aos 72 anos de idade.
Conjuntos e Elementos
Um conjunto é uma coleção de objetos, números ou qualquer outra coisa que possa ser agrupada, contada. Um conjunto geralmente é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.
Todas essas partes que compõem um conjunto são chamadas de elementos. Podemos imaginar um cardume como um conjunto. E dentro desse conjunto, os elementos são os próprios peixes.
Relação de Pertinência
Supondo que o peixe seja representado pela letra p, o cardume pela letra C e um tubarão pela letra t:
Se um peixe pertence ao conjunto cardume e o tubarão não pertence ao conjunto cardume, a representação matemática para isso pode ser dada por:
p∈C (lê-se: p pertence a C)t∉C (lê-se: t não pertence a C)
Representando um Conjunto
Os elementos de um conjunto podem ser representados das seguintes maneiras:- Enumeração ou por extensão,
- com uma propriedade em comum ou compreensão e
- em forma de diagramas.
Conjunto Enumerado (Extensão)
Supondo um conjunto A, de números inteiros positivos maior que zero e menor que dez, podemos representá-los como:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}As chaves indicam que o que existe em seu interior são elementos do conjunto, separados por vírgulas. Esta forma permite representar todos os elementos de um conjunto entre chaves.
Sendo B o conjunto dos números pares, inteiros e positivos, não podemos representar todos os seus elementos. Então usa-se reticências:
B = {2,4,6,8,10,12,14,...}Conjunto com uma Propriedade em Comum (Compreensão)
Essa notação serve para um conjunto C que obedeça uma propriedade P. Exemplo: o conjunto C recebe todo elemento que for um número ímpar menor que 10.
C = {x∣x seja um número ímpar menor que 10} (lê-se: C é o conjunto dos elementos x tal que x seja um número ímpar menor que 10)
C = {...,1,3,5,7,9}
Exemplo 2: D é o conjunto dos elementos y, tal que y seja inteiro, maior que zero e menor que 5.
D={y∣y∈N* e y<5}D={1,2,3,4}
Lê-se: D é o conjunto dos elementos y, tal que y pertence ao conjunto dos números naturais não nulos (N*) e y é menor que 5. Obs.:
- A barra vertical "|" significa tal que. Também pode ser usado a barra "/".
- O símbolo de menor é representado por < (aponta para a esquerda).
- O símbolo de maior é representado por > (aponta para a direita).
D={1,2,3,4}
n(D)=4 (lê-se: O número de elementos do conjunto D é igual a 4)
Conjunto em Diagrama
Consiste em representar todos os elementos contidos em um conjunto através de um diagrama. O diagrama mais usado é o Diagrama de Venn ou Diagrama de Euler.
![]() |
Diagrama de Venn |
Neste diagrama, todos os elementos que pertencem ao conjunto E estão em seu interior, delimitado por uma linha azul.
a∈E,b∈E,c∉E,d∉E,e∈EE={a,b,e}
Agora que já vimos as três representações importantes de um conjunto (extensão, compreensão e diagrama), veremos mais alguns tipos de conjuntos.
Conjunto Unitário
É todo conjunto formado por um único elemento. Seja A um conjunto, tal que x + 2 = 3, sendo x positivo.
A={x∣x>0 e x+2=3}A={1}
Conjunto Vazio
Como o nome sugere, é todo conjunto que não possui elementos. Seja B o conjunto do elemento x, tal que x2 > x3, sendo x positivo e maior ou igual a 1.
B={x∣x2>x3 e x≥1}B=∅
O símbolo ∅ representa um conjunto vazio. Também poderia ser escrito B={ }.
O símbolo ≥ significa maior ou igual.
Observação importante: Não se representa um conjunto vazio por B={∅}. Essa representação indica um conjunto unitário que possui um conjunto vazio como elemento.
Também não se representa um conjunto vazio pela letra grega fi "ϕ".
O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos, inclusive em si mesmo. Veremos essa relação de estar contido ou não no próximo artigo.
Conjunto Igual
É quando dois ou mais conjuntos, possuem os mesmos elementos.
Seja A o conjunto formado pelos elementos da palavra "grite" e B o conjunto formado pelos elementos da palavra "tigre".
A={g,r,i,t,e}B={t,i,g,r,e}
Independentemente da ordem, o conjunto A contém os mesmos elementos que o conjunto B. Ou seja, se ambos contêm os mesmos elementos, são conjuntos iguais.
A=B, caso contrário seria A≠B (lê-se: A diferente de B).Ou na relação de inclusão que veremos no outro artigo, podemos dizer:
A⊂B⇒B⊂A⇔A=B
Conjunto Universo
É o conjunto que abrange todos os elementos. Geralmente é representado pela letra U. Exemplo: quantos números são menores que 5?
- Caso o conjunto solução seja dos números inteiros: S={...,−2,−1,0,1,2,3,4}
- Caso o conjunto solução seja dos números naturais: S={0,1,2,3,4}
Todos esses conjuntos pertencem ao Conjunto Universo. Ou seja, a resposta para uma pergunta dependerá muito do conjunto que se estiver trabalhando. Representando os casos por compreensão, ficará assim:
- S={x∣x∈Z e x<5}
- S={x∣x∈N e x<5}
No próximo artigo iremos aprender sobre subconjuntos e simbologias usadas para representar as relações estabelecidas entre os conjuntos, seus elementos e subconjuntos.
Considerações Finais
O objetivo deste artigo foi trazer uma breve introdução à Teoria dos Conjuntos, um tópico importante da Matemática Discreta e também a base para se estudar funções e outros tópicos da Matemática em geral. Você aprendeu:
- O que é um conjunto.
- O que é um elemento.
- Relação de pertinência.
- Formas de se representar um conjunto.
- Tipos de conjuntos (unitário, igual, vazio e universo).
Artigos
- Teoria dos Conjuntos - Introdução
- Teoria dos Conjuntos - Subconjuntos
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (1/2)
- Teoria dos Conjuntos - Operações com Conjuntos (2/2)
- Teoria dos Conjuntos - Diferença Simétrica
- Teoria dos Conjuntos - Lei de De Morgan
- Exercícios
- Lista completa de artigos sobre teoria dos conjuntos
Para citar esse artigo:
Comentários
Postar um comentário