Etec 2008 1º Sem. Extemporâneo - Matemática (3/3)

Resolução das questões de Matemática da Etec (Escola Técnica Estadual) do estado de São Paulo. A prova da Etec 2008 extemporâneo consiste em 30 questões, sendo que metade avaliam o nível do candidato em língua portuguesa, gramática e conhecimentos relacionados; a outra metade consiste na avaliação das capacidades do aluno em raciocínio matemático. Você pode responder as questões e conferir as repostas.
Etec - Escola Técnica Estadual
© Centro Paula Souza

Questão 1

João, sua esposa e seus dois filhos decidiram passar uma semana de férias, no mês de janeiro de 2008, na Pousada das Flores, em Florianópolis. De acordo com a tabela de preços abaixo, calcule o valor da estadia de João e sua família e o valor do sinal necessário para garantir sua reserva, respectivamente.

Tabela de preços do hotel
Pousada das Flores. (Foto: reprodução)



Questão 2

Um goleiro chuta a bola que se encontra parada em seu campo em direção ao campo do adversário.
A bola descreve a trajetória de uma parábola, dada pela função h(t) = -t2 + 10t, sendo t o tempo em segundos e h(t) a altura atingida pela bola em metros. Após quanto tempo a bola tocará novamente o campo?

Curva representando a trajetória da bola.



Questão 3

Dada a figura abaixo, calcule o perímetro total dos semicírculos, sabendo-se que cada lado do triângulo retângulo é o diâmetro do respectivo círculo.
Dado:
π = 3,14
Comprimento da circunferência = 2πr
AB = 8 cm; BC = 6 cm; e AC = 10 cm

Figura, conforme o enunciado.



Questão 4

Na eleição para a presidência de um determinado clube de futebol, 1/3 dos associados votou na chapa A, 1/5 dos associados votou na chapa B e 210 associados votaram na chapa C. Sabendo-se que não houve votos nulos e votos em branco, quantos associados votaram nessa eleição?



Questão 5

Três alunos disputam o cargo de representante de classe da 6ª série que possui 43 alunos. Sabendo-se que o vencedor obteve seis votos a mais que o segundo colocado, e que este obteve cinco votos a mais que o terceiro colocado e, ainda, que não houve votos nulos e votos em branco, quantos votos obteve o vencedor?




Resolução

1)
  • João, seus dois filhos e sua esposa compõem, no total, 4 pessoas para passar as férias no hotel. Então na tabela precisamos ver o quanto custa a hospedagem de 4 pessoas.
  • Para cada mês a hospedagem de 4 pessoas varia. Mas eles irão passar as férias no mês de janeiro, então o preço será de R$ 119,00.
  • O tempo que permanecerão será de 7 dias, então multiplicamos esse preço por 7, que resulta em R$ 833,00 a hospedagem.

 O valor do sinal é 30% dos R$ 833,00. Que resulta em R$ 249,90. Resposta: alternativa C.


2) Algumas informações importantes para compreendermos essa questão:
  • A função h(t) representa a altura da bola;
  • A variável t representa o tempo;
  • A função descrita representa uma equação do 2º grau com C igual a 0 (incompleta).

    Parábola representando a trajetória da bola.

    Para calcular o tempo em que a bola toca o chão, precisamos entender que para isso acontecer, a altura em que a bola se encontra deve ser igual a 0. Ou seja, h(t) deve ser igual a 0. Há dois momentos em que a altura é igual a 0:
    1. Antes da bola ser quicada, instante t = 0 (x');
    2. Em um outro instante, quando a bola cai e toca o solo (x'').

    1ª Resolução (sem fórmulas)
     $$-t^{2} + 10t = 0$$ (coloque t em evidência)
    $$t(-t + 10) = 0$$ (para o lado esquerdo da equação ser igual a 0, t = 10 ou t = 0). Divida ambos os lados por t

    $$-t + 10 = 0$$ (subtraia 10 em ambos os lados)
    $$-t = -10$$ (multiplique ambos os lados por -1)
    $$t = 10$$

    Achamos a segunda raiz da equação. Após 10 segundos a bola tocará o solo.

    $$h(10)$$ $$=$$ $$-10^{2} + 10\cdot10$$ $$=$$ $$-100 + 100 = 0$$

     2ª Resolução (usando Fórmula de Bhaskara)

    $$ax^{2} + bx + c = 0$$

    $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2a}$$

    $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 0}}{2 \cdot (-1)}$$

    $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100}}{-2}$$

    $$x' = \frac{-10 + 10}{-2} = 0$$

    $$x'' = \frac{-10 - 10}{-2} = 10$$

    Resposta: alternativa D.


    3) Para calcularmos o perímetro dessa figura, precisamos entender que ela é formada por três semicírculos. Veja a imagem a seguir para entender a fórmula que utilizaremos para calcular o semiperímetro de cada circulo e depois somá-los:

    Perímetro e Semiperímetro de um círculo.

    A figura é composta por três semiperímetros de um círculo, ou seja, a metade de um perímetro. Então utilizaremos a fórmula πR para cada metade do círculo. Resultado:
    • Círculo maior: diâmetro = 10 cm, raio = 5 cm;
    • Círculo médio: diâmetro = 8 cm, raio = 4 cm;
    • Círculo menor: diâmetro = 6 cm, raio = 3 cm.

      Obs.: o raio é sempre a metade do diâmetro.

      • Semiperímetro do círculo maior: 5π cm;
      • Semiperímetro do círculo médio: 4π cm;
      • Semiperímetro do círculo menor: 3π cm.
      Perímetro: 5π + 4π + 3π = 12π cm.

      Como foi dado que π = 3,14; 12 × 3,14 = 37,68 cm de perímetro. Alternativa B.


      4)
      • A quantidade de eleitores é igual a x. Sabemos que 1/3 de X votou na chapa A;
      • 1/5 de X votou na chapa B;
      • 210 pessoas votaram na chapa C.

      Se somarmos todas as pessoas que votaram, obteremos o número total de eleitores.

      $$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + 210 = x$$

      $$\left(\frac{5}{5} \cdot \frac{x}{3}\right) + \left(\frac{3}{3} \cdot \frac{x}{5}\right) + 210 = x$$

      $$\frac{5x}{15} + \frac{3x}{15} + 210 = x$$

      $$\frac{8x}{15} + 210 = x$$

      $$\frac{8x}{15} = x - 210$$

      $$8x = 15x - 3.150$$

      $$-7x = - 3.150$$

      $$7x = 3.150$$

      $$x = \frac{3.150}{7} = 450$$ eleitores.

      Resposta: alternativa A.


      5) Novamente, vamos enumerar em tópicos as informações mais importantes:
      • Total de alunos = total de votos = 43;
      • Total de votos do 1º colocado = total de votos do 2º colocado + 6;
      • Total de votos do 2º colocado = total de votos do 3º colocado + 5;
      • Total de votos do 3º colocado = x.

      Não foi informado quantos votos o terceiro colocado obteve. Então chamaremos de X. E o segundo colocado teve (x + 5) e o 1º teve [(x + 5) + 6]. Ao somar todos os votos, o total deve ser 43.

      $$(x + 5 + 6) + (x + 5) + x = 43$$

      $$3x + 16 = 43$$

      $$3x = 27$$

      $$x = \frac{27}{3} = 9$$

      Se o último colocado obteve 9 votos, o 1º colocado obteve 9 + 5 + 6 = 20. Resposta: alternativa C.



      Anexos
      VESTIBULINHO ETEC. Prova: Vestibulinho Etec - 1º semestre/2008. Disponível em <http://www.vestibulinhoetec.com.br/download/prova_ant/42.pdf>. Acesso em 29 dez. 2016.

      VESTIBULINHO ETEC. Gabarito: Vestibulinho Etec - 1º semestre/2008. Disponível em <http://www.vestibulinhoetec.com.br/download/prova_ant/43.pdf>. Acesso em 29 dez. 2016.


      Para citar esse artigo:

      Clederson Cruz -

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