Exercícios sobre Limites de uma Função (3/4)

Nos artigos anteriores (lista completa no final do artigo) vimos a resolução de exercícios sobre limites finitos de uma função. Continuaremos a ver essas resoluções por meio de tabela, gráfico e álgebra. Os limites a seguir são do tipo $$\frac{0}{0}$$.

Calcule os seguintes limites:

a) $$\lim_{x \to 2} \frac{3x^{2} - 12}{x - 2}$$

b) $$\lim_{x \to 0} \frac{12x + 3x^{2}}{x}$$

c) $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$$

d) $$\lim_{x \to 6} \frac{x^{2} - 2x - 24}{x - 6}$$

Resolução

Agora veremos algumas formas de se resolver esses limites.

a) $$\lim_{x \to 2} \frac{3x^{2} - 12}{x - 2}$$

Calculando os Limites Laterais com tabela:

Limite Lateral Esquerdo		Limite Lateral Direito
x	f(x)	x	f(x)
1,9	11,7	2,1	12,3
1,99	11,97	2,01	12,03
1,999	11,997	2,001	12,003
1,9999	11,9997	2,0001	12,0003

Podemos notar que quando X tende a 2, a função tende a 12 em ambos os lados.

Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 2} \frac{3x^{2} - 12}{x - 2}$$ = $$\lim_{x \to 2} \frac{3(x^{2} - 4)}{x - 2}$$ = $$\lim_{x \to 2} \frac{3(x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$$ =

$$\lim_{x \to 2} \frac{3(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$ = $$\lim_{x \to 2} 3(x + 2)$$ = $$\lim_{x \to 2} 3x + 6 = 12 $$

Gráfico:

Quando x tende a 2, f(x) tende a 12

---

b) $$\lim_{x \to 0} \frac{12x + 3x^{2}}{x}$$

Calculando os Limites Laterais com tabela:

Limite Lateral Esquerdo		Limite Lateral Direito
x	f(x)	x	f(x)
-0,1	11,7	2,1	12,3
-0,01	11,97	2,01	12,03
-0,001	11,997	2,001	12,003
-0,0001	11,9997	2,0001	12,0003

Podemos notar que quando X tende a 0, a função tende a 12 em ambos os lados.

Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 0} \frac{12x + 3x^{2}}{x}$$ = $$\lim_{x \to 0} \frac{x(12 + 3x)}{x}$$ = $$\lim_{x \to 0} 12 + 3x = 12$$

Gráfico:

Quando x tende a 2, f(x) tende a 12

---

c) $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$$

Calculando os Limites Laterais com tabela:

Limite Lateral Esquerdo		Limite Lateral Direito
x	f(x)	x	f(x)
0,9	2,9	2,1	3,1
0,99	2,99	2,01	3,01
0,999	2,999	2,001	3,001
0,9999	2,9999	2,0001	3,0001

Podemos notar que quando X tende a 1, a função tende a 3 em ambos os lados.

Calculando (fatoração):

Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou soma e produto para encontrarmos as duas raízes reais da equação, e reescrevermos a equação na forma de a(x - x')(x - x'') em que x' e x'' são as raízes.

Soma e produto
$$\_ + \_ = \frac{-b}{a}$$

$$\_ \times \_ = \frac{c}{a}$$

$$-2 + 1 = -1$$
$$-2 \times 1 = -2$$

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$$ = $$\lim_{x \to 1} \frac{(x - (-2))(x - 1)}{x - 1}$$ = $$\lim_{x \to 1} (x + 2) = 3$$

Gráfico:

Quando x tende a 1, f(x) tende a 3

---

d) $$\lim_{x \to 6} \frac{x^{2} - 2x - 24}{x - 6}$$

Calculando os Limites Laterais com tabela:

Limite Lateral Esquerdo		Limite Lateral Direito
x	f(x)	x	f(x)
5,9	9,9	6,1	10,1
5,99	9,99	6,01	10,01
5,999	9,999	6,001	10,001
5,9999	9,9999	6,0001	10,0001

Podemos notar que quando X tende a 6, a função tende a 10 em ambos os lados.

Calculando (fatoração):

Nosso objetivo é tirar a indeterminação do denominador da fração. Para isto iremos utilizar a mesma fatoração que realizamos anteriormente, só que agora utilizando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes reais.

Fórmula de Bhaskara
$$ax^{2} + bx + c = 0$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}- 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$ =

$$x = \frac{- (-2) \pm \sqrt{(-2)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}$$ =

$$\frac{2 \pm \sqrt{4 - (-96)}}{2}$$ = $$\frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}$$

$$x' = \frac{2 + 10}{2} = 6$$

$$x'' = \frac{2 - 10}{2} = -4$$

$$\lim_{x \to 6} \frac{x^{2} - 2x - 24}{x - 6}$$ = $$\lim_{x \to 6} \frac{(x - (-4))(x - 6)}{x - 6}$$ = $$\lim_{x \to 6} (x + 4) = 10$$

Gráfico:

Quando x tende a 6, f(x) tende a 10

Essa foi mais uma postagem sobre limites. Nesse artigo aprendemos como calcular limites do tipo 0/0 por fatoração, tabela e também como visualizar o comportamento da função graficamente. No próximo artigo veremos mais um pouco sobre limites do tipo 0/0.

Artigos

• Exercícios sobre Limites de uma Função (4/4) (continuação)
• Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites

Para citar esse artigo: