Os exercícios a seguir são sobre Limites Finitos de uma função. Você pode resolvê-los por fatoração ou substituição do valor de x (se possível), gráfico ou tabela. As respostas serão apresentadas das três formas.
Calcule os seguintes limites:
a) $$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x}{x}$$
b) $$\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$$
c) $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$
d) $$\lim_{x \to 0} (2x + 4)$$
Resolução
Se você já tentou fazer, então segue a resolução abaixo acompanhada do gráfico, tabela e cálculo.
a) $$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x}{x}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -0,1 | -1,1 | 0,1 | -0,9 |
| -0,01 | -1,01 | 0,01 | -0,99 |
| -0,001 | -1,001 | 0,001 | -0,999 |
| -0,0001 | -1,0001 | 0,0001 | -0,9999 |
Podemos notar que quando X tende a 0, a função tende a -1 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x}{x}$$ $$=$$ $$\lim_{x \to 0} \frac {x(x - 1)}{x}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 0} (x - 1)$$ $$ = -1$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende 0, f(x) tende a -1 |
b) $$\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -0,1 | ∄ | 0,1 | 0,316... |
| -0,01 | ∄ | 0,01 | 0,1 |
| -0,001 | ∄ | 0,001 | 0,031... |
| -0,0001 | ∄ | 0,0001 | 0,01 |
Como os limites laterais divergem, o limite da função não existe quando X tende a 0.
$$\lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{x}$$ $$ \not= $$ $$\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}$$ $$ \therefore $$ $$\lim_{x \to 0} \sqrt{x} = \not \exists$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 0, o limite de f(x) não existe |
Obs. nº 1: não cometa o erro de substituir o valor de x na função e afirmar que o seu limite é 0. Neste caso em específico, temos que avaliar os limites laterais cuidadosamente.
Obs. nº 2: esse limite não existe no domínio real. Porque se considerar o domínio imaginário também, a tendência é 0, em ambos lados. Leia mais a respeito aqui (em inglês) Does Sqrt(x) have a limit for x to 0?. Por isso é necessário identificar com qual domínio se está trabalhando e, no nosso caso, estamos trabalhando com o domínio real.
Obs. nº 2: esse limite não existe no domínio real. Porque se considerar o domínio imaginário também, a tendência é 0, em ambos lados. Leia mais a respeito aqui (em inglês) Does Sqrt(x) have a limit for x to 0?. Por isso é necessário identificar com qual domínio se está trabalhando e, no nosso caso, estamos trabalhando com o domínio real.
c) $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -0,1 | -1 | 0,1 | 1 |
| -0,01 | -1 | 0,01 | 1 |
| -0,001 | -1 | 0,001 | 1 |
| -0,0001 | -1 | 0,0001 | 1 |
$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x}$$ $$ \not= $$ $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x}$$ $$ \therefore $$ $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} = \not \exists$$
Como os limites laterais divergem, o limite da função não existe quando X tende a 0.
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 0, o limite de f(x) não existe |
d) $$\lim_{x \to 0} (2x + 4)$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -0,1 | 3,8 | 0,1 | 4,2 |
| -0,01 | 3,98 | 0,01 | 4,02 |
| -0,001 | 3,998 | 0,001 | 4,002 |
| -0,0001 | 3,9998 | 0,0001 | 4,0002 |
Quando X tende a 0, a função tende a 4 em ambos os lados.
Calculando (substituição do valor de x):
Como o domínio é $$\mathbb{R}$$ e não tem nenhuma restrição nessa função do 1º grau, podemos simplesmente substituir o valor de x.
$$\lim_{x \to 0} (2x + 4) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 0, f(x) tende a 4 |
No próximo artigo continuaremos resolvendo mais exercícios sobre limites.
Artigos
- Exercícios sobre Limites de uma Função (3/4) (continuação)
- Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites
Para citar esse artigo:
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