Os exercícios a seguir são sobre Limites Finitos de uma função. Você pode resolvê-los por fatoração, gráfico ou tabela. As respostas serão apresentadas das três formas.
Calcule os seguintes limites:
a) $$\lim_{x \to 0} (x^{2} - 5)$$
b) $$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x + 1}$$
c) $$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$$
d) $$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6x + 8}{x - 2}$$
e) $$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7x + 10}{x - 5}$$
Resolução
Se você já tentou fazer, então segue a resolução abaixo acompanhada do gráfico, tabela e cálculo.a) $$\lim_{x \to 0} (x^{2} - 5)$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -0,1 | -4,99 | 0,1 | -4,99 |
| -0,01 | -4,9999 | 0,01 | -4,9999 |
| -0,001 | -4,999999 | 0,001 | -4,999999 |
| -0,0001 | -4,99999999 | 0,0001 | -4,99999999 |
Podemos notar que quando X tende a 0, a função tende a -5 em ambos os lados.
Calculando (substituição do valor de x):
$$\lim_{x \to 0} (x^{2} - 5)$$ $$ = $$ $$ \lim_{x \to 0} (0^{2} - 5) $$ $$ = $$ $$ -5 $$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 0, f(x) tende a -5 |
b) $$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x + 1}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| -2,1 | 0,09090... | -1,9 | -0,1111... |
| -2,01 | 0,00990... | -1,99 | -0,0101... |
| -2,001 | 0,00099... | -1,999 | -0,0010... |
| -2,0001 | 0,00009... | -1,9999 | -0,0001... |
Podemos notar que quando X tende a -2, a função tende a 0 em ambos os lados.
Calculando (substituição do valor de x):
$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x + 1}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to -2} \frac{(-2) + 2}{(-2) + 1}$$ $$ = $$ $$ \lim_{x \to -2} \frac{0}{-1}$$ $$ = 0$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a -2, f(x) tende a 0 |
c) $$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 3,9 | 7,9 | 4,1 | 8,1 |
| 3,99 | 7,99 | 4,01 | 8,01 |
| 3,999 | 7,999 | 4,001 | 8,001 |
| 3,9999 | 7,9999 | 4,0001 | 8,0001 |
Quando X tende a 4, a função tende a 8 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
Diferentemente dos casos anteriores em que f(x) no ponto a coincidia com o limite da função, neste caso há uma indeterminação matemática ao substituir o valor x por 4. Pois acontece uma divisão por zero.
Embora f(4) não exista no domínio real, o limite dessa função quando x se aproxima de 4 existe.
Embora f(4) não exista no domínio real, o limite dessa função quando x se aproxima de 4 existe.
$$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4^{2}}{x - 4}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) (x + 4)}{x - 4}$$ = $$\lim_{x \to 4} (x + 4)$$ $$ = 8$$
Foi utilizado um produto notável para transformar a² - b² em (a - b)(a + b). Veja como são equivalentes:
$$(a - b)(a + b)$$ $$ = $$ $$a^{2} + ab - ab - b^{2}$$ $$ = $$ $$a^{2} - b^{2}$$
E como no numerador só há multiplicações, podemos dividir (x - 4) com (x - 4), que dá 1, e multiplicar por (x + 4). Após isso é só substituir o valor de x porque não há mais indeterminação.
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 4, f(x) tende a 8 |
Observação: f(x) = (x² - 16)/(x - 4) e g(x) = x + 4 são funções diferentes mas que possuem o mesmo limite no ponto a. Pois o domínio de f(x) é $$\{x \in \mathbb{R} \text{ | } x \not= 4\}$$, enquanto o domínio de g(x) é $$\mathbb{R}$$.
d) $$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6x + 8}{x - 2}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1,9 | -2,1 | 2,1 | -1,9 |
| 1,99 | -2,01 | 2,01 | -1,99 |
| 1,999 | -2,001 | 2,001 | -1,999 |
| 1,9999 | -2,0001 | 2,0001 | -1,9999 |
Quando X tende a 2, a função tende a -2 em ambos os lados.
Calculando (fatoração):
Podemos utilizar soma e produto ou desenvolver a equação do 2º grau, para depois fatorarmos.
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6x + 8}{x - 2}$$
Utilizando a fórmula de Bhaskara
$$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$$
$$x' = \frac{6 + \sqrt{36 - 32}}{2}$$ $$ = $$ $$\frac{6 + 2}{2}$$ $$ = 4$$
$$x'' = \frac{6 - \sqrt{36 - 32}}{2}$$ $$ = $$ $$\frac{6 - 2}{2}$$ $$ = 2$$
Agora podemos fatorar
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 4)(x - 2)}{x - 2}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 2} (x - 4)$$ $$ = -2$$
Nessa fatoração utilizamos $$a(x - x')(x - x'')$$ em que $$x'$$ e $$x''$$ são raízes reais da equação. Veja:
$$(x - 4) (x - 2)$$ $$ = $$ $$x^{2} - 2x - 4x + 8$$ $$ = $$ $$x^{2} - 6x + 8$$. Como o $$a$$ vale 1, não precisamos explicitar sua presença na conta.
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 2, f(x) tende a -2 |
e) $$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7x + 10}{x - 5}$$
Calculando os Limites Laterais com Tabela:
| Limite Lateral Esquerdo | Limite Lateral Direito | ||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 4,9 | 2,9 | 5,1 | 3,1 |
| 4,99 | 2,99 | 5,01 | 3,01 |
| 4,999 | 2,999 | 5,001 | 3,001 |
| 4,9999 | 2,9999 | 5,0001 | 3,0001 |
A medida em que X se aproxima de 5 em ambos os lados, a função se aproxima de 3.
Calculando (fatoração):
$$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7x + 10}{x - 5}$$
Calculando as raízes por soma e produto
$$\_ \times \_ = 10$$
$$\_ + \_ = 7$$
$$2 \times 5 = 10$$
$$2 + 5 = 7$$
Agora podemos fatorar
$$\lim_{x \to 5} \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 5}$$ $$ = $$ $$\lim_{x \to 5} (x - 2)$$ $$ = 3$$
Nessa fatoração utilizamos soma e produto para determinar as raízes reais da equação, em que:
$$x' \times x'' = \frac{c}{a}$$
$$x' + x'' = \frac{-b}{a}$$
Gráfico:
 |
| Quando x tende a 5, f(x) tende a 3 |
Como a matemática é uma ciência exata, você pode notar que em ambos os casos as respostas convergem para um mesmo resultado. Há ainda outras formas de se calcular limites, como por exemplo a utilização de divisão de polinômios. Por isso fica a seu critério a forma de resolução que mais te convém. Alguns pontos:
- O método mais algébrico geralmente requer conhecimento em fatoração, produtos notáveis, regra de sinais, regras da aritmética e álgebra em geral, porém é mais rápido.
- Através de gráficos é possível observar o comportamento da função quando x tende a a, mas é preciso de ferramentas que possibilitem a elaboração desses gráficos ou paciência (e muito tempo) para desenhá-los.
- Tabelas são interessantes e fáceis de interpretá-las, mas sem o auxílio de uma calculadora pode ser trabalhoso calcular os limites laterais.
Se você tiver dúvidas a respeito da resolução, não deixe de comentar abaixo.
Artigos
- Exercícios sobre Limites de uma Função (2/4) (continuação)
- Lista completa de artigos sobre o cálculo de limites
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