Foi apresentado na Teoria dos Conjuntos que elementos de um conjunto podem conter uma propriedade em comum. No estudo dos conjuntos numéricos, veremos alguns conjuntos que são formados a partir de números que possuem uma relação em comum. Neste artigo veremos o nosso primeiro conjunto numérico, o conjunto dos números naturais.
O que é um número natural?
Para falarmos sobre o que é um número natural, temos que voltar um pouco na história da humanidade e lembrarmos de como os pastores primitivos contavam as ovelhas. Para cada ovelha do rebanho, eles associavam-na com uma pedra. Se ao contarem as ovelhas sobrasse alguma pedra, era porque estava faltando alguma ovelha.
Depois o homem começou a fazer registros gráficos (pela inviabilidade de se transportar sacos de pedras), como por exemplo,
associar qualquer quantidade de três coisas a representação gráfica III.
Quando houve a necessidade de se registrar quantidades cada vez
maiores, o ser humano desenvolveu ao longo da história outras maneiras
gráficas de se representar quantidades até chegar nesta que conhecemos
hoje, o sistema numérico decimal.
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| Estátua de Al-Khwarizmi em Uzbequistão (Foto: PixaBay / LoggaWiggler) |
Um dos matemáticos que nos ajudou neste processo com a utilização de símbolos para representar quantidades, foi o Al-Khwarizmi, através da notação posicional (ou seja, a posição do número importa: 52 ≠ 25) e com o uso de dez símbolos para formarmos todos os valores que precisamos. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Através da combinação desses registros gráficos, podemos formar muitos outros símbolos que também representam quantidades, todos eles são números naturais.
Al-Khwarizmi não foi o responsável pela criação desses símbolos, tanto que ele reconheceu que foram desenvolvidos primeiramente na Índia, mas não dessa forma que conhecemos hoje. E que mais tarde foi concebido pela Europa Ocidental e que atualmente é muito utilizado. Por isso, nosso sistema numérico decimal é indo-europeu.
Representamos o conjunto dos números naturais por ℕ. Que são todos os números não negativos e não fracionários, os primeiros números que naturalmente o homem passou a ter contato e utilizar.
Subconjunto de ℕ
Sabemos que um número natural é todo número não negativo e não fracionário. Temos que $$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$ e em ℕ há um subconjunto, que são os números naturais não nulos. É subconjunto do conjunto natural: $$\mathbb{N}^{*} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$.
Podemos dizer que $$\mathbb{N}^{*} \subset \mathbb{N}$$. E também podemos afirmar que:
$$\varnothing \subset \mathbb{N}$$ (O vazio é subconjunto de qualquer conjunto)
$$ \mathbb{N}\subset \mathbb{N}$$ (ℕ é subconjunto de si mesmo)
$$\mathbb{N}^{*} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N}^{*}$$ (o resultado da interseção é o próprio ℕ*)
$$\mathbb{N}^{*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{N}$$ (a união é o próprio ℕ)
$$\mathbb{N}^{*} - \mathbb{N} = \varnothing$$ (não há elementos que pertençam a ℕ* e não pertençam a ℕ)
$$\mathbb{N} - \mathbb{N}^{*} = \{0\}$$ (o único elemento a sobrar será o 0)
Mas ao subtrair um natural por outro, eu obtenho um número natural? Tomando como exemplo $$5$$ e $$2$$, tal que $$5 \in \mathbb{N}$$ e $$2 \in \mathbb{N}$$, iremos realizar um teste:
$$5 - 2 = 3$$ (é natural)
$$2 - 5 = -3$$ (não é natural)
Portanto $$\forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{N}, (a - b) \in \mathbb{N}$$ se $$a \ge b$$. Senão, se $$a < b$$, $$a - b = -(b - a)$$ e esse número negativo, e que não pertence a ℕ, pertence ao conjunto dos números inteiros e veremos esse conjunto numérico no próximo artigo.
O que você aprendeu
- O que são números naturais.
- O porquê de serem conhecidos como números naturais.
- Subconjunto dos naturais.
Bibliografia
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 342 p.
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 2. ed. São Paulo: Moderna, 1997. 443 p.
BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998. 578 p.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Pró-Letramento em Matemática. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf>. Acesso em 20 ago. 2016.
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