Lógica Proposicional - Conectivo e Tabela-Verdade

Lógica Proposicional - Conectivo e Tabela-Verdade

Como vimos em Lógica Proposicional - Introdução, a lógica proposicional é um estudo que envolve operações com proposições e nem toda oração é uma proposição.

Neste artigo trataremos do cálculo proposicional. O cálculo é o estudo da linguagem proposicional. Ele estuda basicamente seis símbolos:

1. Negação: ~ ou $$\neg$$ ou ! ou not ou não.
2. Conjunção: $$\wedge$$ ou && ou and ou e.
3. Disjunção Inclusiva: $$\vee$$ ou || ou or ou ou.
4. Disjunção Exclusiva: $$\veebar$$ ou ^ ou xor ou ou...ou...
5. Implicação: $$\rightarrow$$ ou se...então...
6. Bi-implicação: $$\leftrightarrow$$ ou ...se e somente se...

Observação importante: os conectivos !, &&, || e ^ são usados, geralmente, em linguagem de programação e são chamados de operadores lógicos.

Apesar do estudo da linguagem proposicional ser formal, apresentaremos, muitas vezes, proposições na linguagem portuguesa.

Toda sentença (declarativa) que trabalharemos será, como o próprio nome diz, ou verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Daí a lógica clássica ser chamada de lógica bivalente. Existem várias notações para designarmos os valores verdade ou valores lógicos das sentenças, mas adotaremos a linguagem natural e não a notação booleana, descoberta por George Boole (1815 - 1864), onde 1 designa o valor verdade verdadeiro e 0 designa o valor verdade falso. Usaremos letras maiúsculas do alfabeto romano para representar as proposições.

Sentença Declarativa: é passível de ser considerada ou verdadeira ou falsa.

Lógica Bivalente: afirma que toda sentença declarativa que expressa uma proposição tem exatamente um valor de verdade: ou verdadeiro ou falso.

Índice

1. George Boole
2. A linguagem universal da lógica
3. Vocabulário
4. Negação de proposição
5. Conjunção de proposição
6. Disjunção inclusiva de proposição
7. Disjunção exclusiva de proposição
8. Implicação de proposição
9. Bi-implicação de proposição
10. Leituras que os conectivos podem ter na linguagem natural
11. O que você aprendeu

George Boole
(Foto: Cody Behles / VisualHunt) CC BY-NC

George Boole

George Boole nasceu na Inglaterra, mas aos 25 anos de idade mudou-se para a Irlanda, onde viveu até sua morte e lecionou matemática em Queen´s College em Cork. Publicou "Uma Investigação das Leis do Pensamento", em 1854, conseguindo simplificar a lógica em uma álgebra simples, conhecida como álgebra de Boole. Morreu aos 49 anos de idade, vítima de pneumonia.

A linguagem universal da lógica

A linguagem universal da lógica, segundo Abe, Scalzitti e Filho (2002, p. 24), é constituída pela Teoria dos Conjuntos.

Vocabulário

Para representar as variáveis proposicionais utilizaremos as letras do alfabeto romano, conhecido também como alfabeto latino, maiúsculas, numeradas ou não. Exemplos:

• Finitas: A, B, C, D, E, F, G...
• Infinitas: A1, A2, A3, ..., B1, B2, B3, ..., C..., ...

Observação importante: uma é finita, porque o nosso alfabeto é limitado enquanto que os números não.

Para representar os conectivos lógicos utilizaremos o $$\neg$$ para a negação, $$\wedge$$ para a conjunção, $$\vee$$ para a disjunção inclusiva, $$\veebar$$ para a disjunção exclusiva, $$\rightarrow$$ para a implicação e $$\leftrightarrow$$ para a bi-implicação.

Parênteses, colchetes e chaves serão utilizados no auxílio da compreensão da sentença.

As letras maiúsculas V e F serão usadas, respectivamente, para simbolizar verdadeiro e falso, e não usaremos elas para simbolizar proposição.

Negação de proposição

A negação de uma proposição $$\text{P}$$ é uma outra proposição cujo valor lógico é sempre oposto ao da proposição original.

Dada a proposição $$\text{A}$$ podemos considerar a proposição $$(\neg \text{A})$$ denominada a negação de A. Como $$\text{A}$$ é ou verdadeira ou falsa, a tabela-verdade da negação toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$(\neg \text{A})$$
V	F
F	V

Vimos pela tabela acima que a sentença $$\text{A}$$ é verdadeira se e somente se sua negação é falsa. Observemos os exemplos:

1. Seja $$\text{A} \equiv (1 + 3 = 4)$$ no caso, verdadeira, então $$(\neg \text{A}) \equiv \neg (1 + 3 = 4)$$ constitui uma sentença falsa. Na aritmética comum, costuma-se escrever a última expressão como $$1 + 3 \not= 4$$.
2. Seja $$B \equiv (2 \in \{1, 3, 5\})$$ no caso, falsa, então $$(\neg \text{B}) \equiv \neg (2 \in \{1, 3, 5\})$$ constitui uma sentença verdadeira. Na linguagem da Teoria dos Conjuntos, a última expressão é usualmente escrita como $$2 \notin \{1, 3, 5\}$$.
3. Seja $$C \equiv$$ "A terra gira em torno do sol" (verdadeira). Sua negação é $$(\neg C) \equiv$$ "A terra não gira em torno do sol".
4. Seja $$D \equiv$$ "A cidade de São Paulo é pequena" (falsa). Sua negação é $$(\neg D) \equiv$$ "A cidade de São Paulo não é pequena".

Mas nem tudo é um mar de rosas, existem sentenças que a negação é delicada, tais como:

1. $$H \equiv$$ "Todo homem é mortal".
2. $$P \equiv$$ "Existem pessoas inseguras".

O leitor deve ter negado semelhante a isto:

1. $$\neg \text{H} \equiv$$ "Nenhum homem é mortal".
2. $$\neg \text{P} \equiv$$ "Não existem pessoas inseguras".

Infelizmente há um equívoco nisso, para saber mais sobre negação veja Lógica Proposicional - Negação de todo e nenhum, porque foge do escopo deste artigo.

Observação importante: o símbolo $$\equiv$$ significa, na lógica, equivalência.

Conjunção de proposição

Dadas as sentenças $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ podemos considerar a nova proposição $$(\text{A} \wedge \text{B})$$, a conjunção de $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$.

O valor verdade da sentença $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ depende da veracidade ou falsidade da proposição $$\text{A}$$ e da proposição $$\text{B}$$. Logo, a tabela-verdade da sentença $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ possui quatro possibilidades de valores verdade para as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$, e toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$\text{B}$$	$$(\text{A} \wedge \text{B})$$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Observando a tabela-verdade da conjunção, podemos postular que a sentença $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ é verdadeira se e somente se ambas as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ são verdadeiras, e que a proposição é falsa se e somente se uma das proposições $$\text{A}$$ ou $$\text{B}$$ for falsa. Observemos os exemplos:

1. $$[(2 + 4 = 6) \wedge (1 \le 2)]$$. Esta proposição é verdadeira.
2. $$[(2 + 4 = 6) \wedge (1 \ge 2)]$$. Esta proposição é falsa.
3. $$[(2 + 4 = -6) \wedge (1 \le 2)]$$. Esta proposição é falsa.
4. $$[(2 + 4 = -6) \wedge (1 \ge 2)]$$. Esta proposição é falsa.
5. A Terra é redonda e a Terra gira em torno do sol. Esta proposição é verdadeira.
6. A Terra é redonda e a Terra não gira em torno do sol. Esta proposição é falsa.
7. A Terra não é redonda e a Terra gira em torno do sol. Esta proposição é falsa.
8. A Terra não é redonda e a Terra não gira em torno do sol. Esta proposição é falsa.

Convém frisar algumas diferenças entre os conectivos $$\wedge$$ (lógica) e $$\text{e}$$ (alfabeto latino). Na linguagem proposicional, se $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ são fórmulas, então $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ e $$(\text{B} \wedge \text{A})$$ são logicamente equivalentes. Com efeito, vejamos os exemplos seguintes:

1. $$(2 + 2 = 4 \wedge 1 \le 2)$$. Esta sentença é verdadeira.
2. $$(1 \le 2 \wedge 2 + 2 = 4)$$. Esta sentença é verdadeira.

Ambos possuem o mesmo significado, perante a lógica.

Na linguagem natural, porém, nem sempre isto ocorre. Vejamos o seguinte exemplo:

1. Sejam $$\text{A} \equiv \text{Maria casou}$$ e $$\text{B} \equiv \text{Maria teve um filho}$$. $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ representa a sentença $$\text{Maria casou e Maria teve um filho}$$. $$(\text{B} \wedge \text{A})$$ representa a sentença $$\text{Maria teve um filho e Maria casou}$$. Neste caso, nota-se, não há uma equivalência entre as sentenças $$(\text{A} \wedge \text{B})$$ e $$(\text{B} \wedge \text{A})$$. Na linguagem natural insinua-se, quase sempre, uma certa sequência temporal e as vezes uma implicação de causalidade.

Isso se aplica aos demais conectivos.

Disjunção inclusiva de proposição

Dadas as proposições $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ podemos considerar a nova proposição $$(\text{A} \vee \text{B})$$, a disjunção inclusiva de $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$.

O valor verdade da sentença $$(\text{A} \vee \text{B})$$ depende da veracidade ou falsidade da proposição $$\text{A}$$ e da proposição $$\text{B}$$. Logo, a tabela-verdade da sentença $$(\text{A} \vee \text{B})$$ possui quatro possibilidades de valores verdade para as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$, e toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$\text{B}$$	$$(\text{A} \vee \text{B})$$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Postulamos que a proposição $$(\text{A} \vee \text{B})$$ é verdadeira se e somente se uma das proposições, ou ambas, $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ são verdadeiras. A sentença $$(\text{A} \vee \text{B})$$ adquiri o valor verdade falso se e somente se as proposições simples $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ forem possuidoras do valor verdade falso. Observemos os exemplos:

1. $$[(2 + 4 = 6) \vee (1 \le 2)]$$. Esta proposição é verdadeira.
2. $$[(2 + 4 = 6) \vee (1 \ge 2)]$$. Esta proposição é verdadeira.
3. $$[(2 + 4 = -6) \vee (1 \le 2)]$$. Esta proposição é verdadeira.
4. $$[(2 + 4 = -6) \vee (1 \ge 2)]$$. Esta proposição é falsa.
5. A Terra é redonda ou a Terra gira em torno do sol. Esta proposição é verdadeira.
6. A Terra é redonda ou a Terra não gira em torno do sol. Esta proposição é verdadeira.
7. A Terra não é redonda ou a Terra gira em torno do sol. Esta proposição é verdadeira.
8. A Terra não é redonda ou a Terra não gira em torno do sol. Esta proposição é falsa.

Na linguagem natural, muitas vezes, o conectivo ou possui ideia de exclusão: "Clederson vai ao treino ou vai à igreja". Neste caso, é claro que o Clederson vai fazer uma coisa ou outra, mas não ambas simultaneamente. O conectivo que leva em conta essa frase chama-se disjunção exclusiva.

Uma disjunção é verdadeira quando uma das sentenças constituintes é verdadeira ou, também, quando ambas são verdadeiras simultaneamente.

Disjunção exclusiva de proposição

O conectivo da disjunção inclusiva considera frases como "Clederson vai ao treino ou vai à igreja" verdadeiro, mas na linguagem natural, muitas vezes, isso não é verdade. É possível a mesma pessoa está em dois lugares simultaneamente? O conectivo que trata desta exclusividade é o que apresentaremos agora.

Dadas as proposições $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ podemos considerar a nova proposição $$(\text{A} \veebar \text{B})$$, a disjunção exclusiva de $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$.

O valor verdade da sentença $$(\text{A} \veebar \text{B})$$ depende da veracidade ou falsidade da proposição $$\text{A}$$ e da proposição $$\text{B}$$. Logo, a tabela-verdade da sentença $$(\text{A} \veebar \text{B})$$ possui quatro possibilidades de valores verdade para as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$, e toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$\text{A}$$	$$(\text{A} \veebar \text{B})$$
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A diferença entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva, é que a exclusiva, como o próprio nome diz, só será verdadeira se e somente se uma parte for falsa e a outra verdadeira (independentemente da ordem). Observemos os exemplos:

1. Ou você corre ou você pula.
2. Ou dois é par ou dois é impar.
3. Ou a Terra é rondada ou a Terra é quadrada.

Implicação de proposição

Dadas as proposições $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ podemos considerar a nova proposição $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ a implicação de $$\text{A}$$ por $$\text{B}$$.

A proposição $$\text{A}$$ chama-se antecedente ou suficiente da implicação $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ e $$\text{B}$$ chama-se consequente ou necessário da implicação $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$.

O valor verdade da sentença $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ depende da veracidade ou falsidade da proposição $$\text{A}$$ e da proposição $$\text{B}$$. Logo, a tabela-verdade da sentença $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ possui quatro possibilidades de valores verdade para as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$, e toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$\text{B}$$	$$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Postulamos que a proposição $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ é falsa se e somente se o antecedente $$\text{A}$$ é verdadeiro e o consequente $$\text{B}$$ é falso. Nos demais casos, a proposição $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ é verdadeira. Segue alguns exemplos para maior compreensão.

1. Se chover, então eu saio.
2. Se chover, então eu não saio.
3. Se não chover, então eu saio.
4. Se não chover, então eu não saio.

Realcemos algumas considerações sobre a tabela-verdade da implicação.

Leis casuais: quando a implicação lógica é interpretada como causa na linguagem natural.

A tabela é positivamente obscura no uso ordinário. Vejamos o exemplo abaixo.

Sejam as sentenças $$\text{A} \equiv$$ "Se este pote d'água for colocado no fogo no instante X" e $$\text{B} \equiv$$ "A água congelará".

A sentença $$\text{A}$$ só é falsa, se o pote não for colocado no instante X.

Consideremos a sentença $$(\text{A} \rightarrow \text{B}) \equiv$$ "Se este pote d'água for colocado no fogo no instante X, então a água congelará".

Considerando a sentença $$\text{A}$$ falsa e de acordo com a tabela-verdade da implicação, a proposição $$(\text{A} \rightarrow \text{B})$$ é verdadeira, independentemente do valor verdade de $$\text{B}$$, o que configura uma situação absurda, porque não tem como um pote d'água congelar dentro do fogo.

Então caros leitores, tomem muito cuidado ao tentar transcrever a lógica para a linguagem natural. Muitas situações o antecedente não é suficiente para o consequente.

Bi-implicação de proposição

Dadas as proposições $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$ podemos considerar a nova proposição $$(\text{A} \leftrightarrow \text{B})$$ a bi-implicação de $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$.

O valor verdade da sentença $$(\text{A} \leftrightarrow \text{B})$$ depende da veracidade ou falsidade da proposição $$\text{A}$$ e da proposição $$\text{B}$$. Logo, a tabela-verdade da sentença $$(\text{A} \leftrightarrow \text{B})$$ possui quatro possibilidades de valores verdade para as atômicas $$\text{A}$$ e $$\text{B}$$, e toma a seguinte forma:

$$\text{A}$$	$$\text{B}$$	$$(\text{A} \leftrightarrow \text{B})$$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Postulamos que a proposição $$(\text{A} \leftrightarrow \text{B})$$ é falsa se e somente se as sentenças forem possuidoras de valor verdade divergentes. Segue alguns exemplos para maior compreensão.

1. A Terra é redonda se e somente se a lua é um satélite. Esta sentença é verdadeira.
2. Quatro é um número par se e somente se é divisível por dois. Esta sentença é verdadeira.
3. Cinco é um número impar se e somente se não é divisível por dois. Esta sentença é verdadeira.
4. A Terra é quadrada se e somente se a lua é um satélite. Esta sentença é falsa.
5. Quatro é um número par se e somente se é divisível por três. Esta sentença é falsa.

Leituras que os conectivos podem ter na linguagem natural

A seguir apresentamos algumas leituras que a negação, conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, implicação e bi-implicação podem ter na linguagem natural.

¬A	A ^ B	A v B	AvB	A $$\rightarrow$$ B	A $$\leftrightarrow$$ B
Não A	A e B	A ou B	Ou A ou B	Se A, então B	A se e só se B
Não se dá que A	A, mas B	Ambos		Se A, isto significa que B	A se e somente se B
Não é fato que A	A, embora B			Tendo-se A, então B	A quando e somente quando B
Não é verdade que A	A, assim como B			Quando A, então B	A equivale a B
Não é que A	A e, além disso, B			Sempre que A, B	B equivale a A
Não se tem A	Tanto A como B			B, sempre que tenha A	A quando e somente quando B
	A e também B			B, contanto que A	Uma condição necessária e suficiente A é B
	Não só A, mas também B			A é condição suficiente para B	Uma condição necessária e suficiente B é A
	A, apesar de B			B é condição necessária para A	A é condição necessária e suficiente para B
				Uma condição suficiente para B é A	B é condição necessária e suficiente para A
				Uma condição necessária para A é B
				B, quando A
				B, no caso de A
				A, só se B
				A, somente quando B
				A, só no caso de B
				A implica B
				A acarreta B
				B é implicada por A

O que você aprendeu

Este artigo lançou muitos novos conceitos em seu caminho, mas com o objetivo de validar o que você já veio usando no seu dia-a-dia. Apresentamos a linguagem universal da lógica, vocabulário, os seis conectivos e as suas leituras. Especificamente, você aprendeu:

• Os seis conectivos da lógica ($$\neg$$, $$\wedge$$, $$\vee$$, $$\veebar$$, $$\rightarrow$$ e $$\leftrightarrow$$).
• Vocabulário da lógica proposicional
• A linguagem universal da lógica.
• Tabela-Verdade dos seis conectivos.
• Leituras dos seis conectivos.

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Lógica Proposicional - Fórmulas Atômicas e Complexas

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Lógica Proposicional - Introdução

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Lista de Artigos sobre Lógica Proposicional

Referência Bibliográfica

ABE, J. M; SCALZITTI, A; FILHO, J. I. S. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. 247 p.

BATISTA, G. A; GENARO, F. C; ARDONIRIO, J. J; SANTOS, I. F. Grandes Nomes: influenciando a informação. 2015. 78 f. Pesquisa (Graduação em Ciência da Computação) - Universidade Paulista, São Paulo, 2015.

GERSTING, A. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um tratamento moderno de matemática discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 597 p.

Para citar esse artigo: